Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(a) parametrizada por ;
Passo 1
Vamos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície parametrizada por , onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, cálculo de derivadas parciais, produto vetorial e o próprio fluxo através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial , que nos dará o vetor normal à superfície .
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor normal unitário . No entanto, para calcular o fluxo, não precisamos necessariamente do vetor unitário, pois podemos usar diretamente o vetor normal obtido no passo anterior.
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo :
Passo 6
Calculamos o produto escalar :
Passo 7
Finalmente, o fluxo é a integral dupla sobre a região parametrizada: