Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(a) parametrizada por ;
Passo 1
Vamos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície parametrizada por , onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, cálculo de derivadas parciais, produto vetorial e o próprio fluxo através de superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial , que nos dará o vetor normal à superfície .
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor normal unitário n. No entanto, para calcular o fluxo, não precisamos necessariamente do vetor unitário, pois podemos usar diretamente o vetor normal obtido no passo anterior.
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização r(u, v) na expressão do campo F:
F(r(u, v)) = F(u, v, u + v) = u i + v j + (u + v) k
Passo 6
Calculamos o produto escalar F cdot (ru times rv):
F cdot (ru times rv) = (u)(-1) + (v)(-1) + (u + v)(1) = -u - v + u + v = 0
Passo 7
Finalmente, o fluxo phi é a integral dupla sobre a região parametrizada:
phi = integral duplasigma F cdot n , dS = integral duplaD 0 , du , dv = 0
Resposta
O fluxo phi através da superfície sigma é igual a 0.