Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(a) parametrizada por ;

Passo 1

Vamos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície parametrizada por , onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, cálculo de derivadas parciais, produto vetorial e o próprio fluxo através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial , que nos dará o vetor normal à superfície .

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor normal unitário . No entanto, para calcular o fluxo, não precisamos necessariamente do vetor unitário, pois podemos usar diretamente o vetor normal obtido no passo anterior.

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo :

Passo 6

Calculamos o produto escalar :

Passo 7

Finalmente, o fluxo é a integral dupla sobre a região parametrizada:

Resposta

O fluxo através da superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule o fluxo do campo através da superfície na direção da normal exterior .
© é a parte do primeiro octante, limitada pelos três planos coordenados e pela esfera ;
Seja a curva representada pelas equações (Ex11)
Calcule .
Calcule as integrais a seguir:
(e) ;
Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(d) é a parte da superfície situada acima do plano e orientada para cima;