Calcule phi=integral duplasigma F cdot n d S, o fluxo de F através de sigma, em cada caso:
(a) F(x, y, z)=x i+y j+z k, sigma parametrizada por r(u, v)=u i+v j+(u+v) k, 0 <= u^2+v^2 <= 1;

Passo 1

Vamos calcular o fluxo phi do campo vetorial F(x, y, z) = x i + y j + z k através da superfície sigma parametrizada por r(u, v) = u i + v j + (u + v) k, onde 0 <= u^2 + v^2 <= 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, cálculo de derivadas parciais, produto vetorial e o próprio fluxo através de superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da parametrização r(u, v) em relação a u e v.
ru = partial rpartial u = i + k
rv = partial rpartial v = j + k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial ru times rv, que nos dará o vetor normal à superfície sigma.
ru times rv = i & j & k 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 = i(0 cdot 1 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0) = -i - j + k

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor normal unitário n. No entanto, para calcular o fluxo, não precisamos necessariamente do vetor unitário, pois podemos usar diretamente o vetor normal obtido no passo anterior.

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização r(u, v) na expressão do campo F:
F(r(u, v)) = F(u, v, u + v) = u i + v j + (u + v) k

Passo 6

Calculamos o produto escalar F cdot (ru times rv):
F cdot (ru times rv) = (u)(-1) + (v)(-1) + (u + v)(1) = -u - v + u + v = 0

Passo 7

Finalmente, o fluxo phi é a integral dupla sobre a região parametrizada:
phi = integral duplasigma F cdot n , dS = integral duplaD 0 , du , dv = 0

Resposta

O fluxo phi através da superfície sigma é igual a 0.

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