Seja
a curva representada pelas equações (Ex11)
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva
definida pelas equações paramétricas
e
, onde
varia de
a
. A tarefa é calcular a integral de linha
.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha, especialmente como parametrizar a curva e calcular o elemento de comprimento
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, como a curva está parametrizada em termos de
, vamos expressar
e
diretamente em função de
:
Aqui,
varia de
a
. Isso vai nos ajudar a reescrever tudo em termos de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento
. Quando temos uma curva parametrizada por
, o
é dado por:
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo na fórmula de
:
Passo 4
Agora, vamos expressar a função que está sendo integrada, que é
, também em termos de
:
Porque
para
, que é o nosso intervalo de
.
Passo 5
Agora que temos tudo em termos de
, podemos montar a integral:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Portanto:
Integrando
:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Ache
.
Calcule as integrais a seguir:
(a) onde
;
(a)
Calcule o fluxo do campo
através da superfície
na direção da normal exterior
.
© é a parte do primeiro octante, limitada pelos três planos coordenados e pela esfera
;
©
Calcule
, o fluxo de
através de
, em cada caso:
(a) parametrizada por
;
(a)