Seja C a curva representada pelas equações (Ex11)
x=2 cdot t, y=t^2(0 <= t <= 1)
Calcule integralc(x-raizy) cdot d s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva C definida pelas equações paramétricas x = 2t e y = t^2, onde t varia de 0 a 1. A tarefa é calcular a integral de linha integralC (x - raizy) , ds.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha, especialmente como parametrizar a curva e calcular o elemento de comprimento ds. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, como a curva está parametrizada em termos de t, vamos expressar x e y diretamente em função de t:
x(t) = 2t y(t) = t^2
Aqui, t varia de 0 a 1. Isso vai nos ajudar a reescrever tudo em termos de t.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento ds. Quando temos uma curva parametrizada por t, o ds é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Vamos calcular as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = 2 dydt = 2t
Substituindo na fórmula de ds:
ds = raiz(2)^2 + (2t)^2 , dt = raiz4 + 4t^2 , dt = 2raiz1 + t^2 , dt

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que está sendo integrada, que é (x - raizy), também em termos de t:
x - raizy = 2t - raizt^2 = 2t - t = t
Porque raizt^2 = t para t >= 0, que é o nosso intervalo de t.

Passo 5

Agora que temos tudo em termos de t, podemos montar a integral:
integralC (x - raizy) , ds = integral0^1 t cdot 2raiz1 + t^2 , dt = 2 integral0^1 t raiz1 + t^2 , dt
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Seja u = 1 + t^2, então dudt = 2t ou t , dt = du2. Portanto:
2 integral0^1 t raiz1 + t^2 , dt = 2 cdot 12 integralu=1^u=2 raizu , du = integral1^2 u^1/2 , du
Integrando u^1/2:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2
Aplicando os limites de integração:
23 [ u^3/2 ]1^2 = 23 (2^3/2 - 1^3/2) = 23 (2raiz2 - 1)

Resposta

A integral integralC (x - raizy) , ds vale 23 (2raiz2 - 1).

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