Seja a curva representada pelas equações (Ex11)
Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pelas equações paramétricas e , onde varia de a . A tarefa é calcular a integral de linha .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha, especialmente como parametrizar a curva e calcular o elemento de comprimento . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, como a curva está parametrizada em termos de , vamos expressar e diretamente em função de :
Aqui, varia de a . Isso vai nos ajudar a reescrever tudo em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento . Quando temos uma curva parametrizada por , o é dado por:
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Substituindo na fórmula de :

Passo 4

Agora, vamos expressar a função que está sendo integrada, que é , também em termos de :
Porque para , que é o nosso intervalo de .

Passo 5

Agora que temos tudo em termos de , podemos montar a integral:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Seja , então ou . Portanto:
Integrando :
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Ache .
Calcule as integrais a seguir:
(a) onde ;
Calcule o fluxo do campo através da superfície na direção da normal exterior .
© é a parte do primeiro octante, limitada pelos três planos coordenados e pela esfera ;
Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(a) parametrizada por ;