Calcule o fluxo do campo através da superfície lateral do cilindro circular , limitada inferiormente pelo plano e superiormente pelo plano , com vetor normal exterior.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície lateral de um cilindro circular dado pela equação . Esse cilindro é limitado inferiormente pelo plano e, superiormente, pelo plano . Além disso, o vetor normal deve ser externo ao cilindro.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies parametrizadas. Precisaremos parametrizar a superfície lateral do cilindro e calcular a integral de superfície do campo vetorial sobre essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície lateral do cilindro . Em coordenadas cilíndricas, podemos representar qualquer ponto na superfície lateral do cilindro como:
onde varia de a para cobrir toda a circunferência e varia entre os limites impostos pelos planos e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de . Dado que e , substituindo na equação dos planos:
Para o plano inferior:
Para o plano superior:
Portanto, varia de a .

Passo 4

Para calcular o fluxo, precisamos do vetor normal à superfície. Como estamos trabalhando com a superfície lateral do cilindro, o vetor normal será radial e externo, ou seja, na direção de .
O diferencial de área na parametrização é dado pelo produto vetorial das derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
O produto vetorial resulta em:

Passo 5

Agora, calculamos o fluxo do campo através da superfície, que é dado por:
Substituindo e :
Portanto, a integral se simplifica para:

Passo 6

Agora, precisamos integrar sobre os limites de e que determinamos anteriormente. Como , o integrando é constante.
Integrando em relação a :

Resposta

O fluxo do campo através da superfície lateral do cilindro é .

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