Calcule o fluxo do campo F(x, y, z) = (x, y, z) através da superfície lateral do cilindro circular x^2 + y^2 = 1, limitada inferiormente pelo plano x + y + z = 1 e superiormente pelo plano x + y + z = 2, com vetor normal n exterior.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície lateral de um cilindro circular dado pela equação . Esse cilindro é limitado inferiormente pelo plano e, superiormente, pelo plano . Além disso, o vetor normal n deve ser externo ao cilindro.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies parametrizadas. Precisaremos parametrizar a superfície lateral do cilindro e calcular a integral de superfície do campo vetorial F sobre essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície lateral do cilindro . Em coordenadas cilíndricas, podemos representar qualquer ponto na superfície lateral do cilindro como:
onde varia de 0 a para cobrir toda a circunferência e z varia entre os limites impostos pelos planos e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de z. Dado que e , substituindo na equação dos planos:
Para o plano inferior:
Para o plano superior:
Portanto, z varia de a .

Passo 4

Para calcular o fluxo, precisamos do vetor normal n à superfície. Como estamos trabalhando com a superfície lateral do cilindro, o vetor normal será radial e externo, ou seja, na direção de .
O diferencial de área na parametrização é dado pelo produto vetorial das derivadas parciais de r em relação a e z:
Calculando as derivadas:
O produto vetorial resulta em:

Passo 5

Agora, calculamos o fluxo Phi do campo F através da superfície, que é dado por:
Substituindo e :
Portanto, a integral se simplifica para:

Passo 6

Agora, precisamos integrar sobre os limites de e z que determinamos anteriormente. Como , o integrando é constante.
Integrando em relação a z:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície lateral do cilindro é .

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