Calcule o fluxo do campo
através da superfície lateral do cilindro circular
, limitada inferiormente pelo plano
e superiormente pelo plano
, com vetor normal
exterior.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície lateral de um cilindro circular dado pela equação
. Esse cilindro é limitado inferiormente pelo plano
e, superiormente, pelo plano
. Além disso, o vetor normal
deve ser externo ao cilindro.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies parametrizadas. Precisaremos parametrizar a superfície lateral do cilindro e calcular a integral de superfície do campo vetorial
sobre essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície lateral do cilindro
. Em coordenadas cilíndricas, podemos representar qualquer ponto na superfície lateral do cilindro como:
onde
varia de
a
para cobrir toda a circunferência e
varia entre os limites impostos pelos planos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de
. Dado que
e
, substituindo na equação dos planos:
Para o plano inferior:
Para o plano superior:
Portanto,
varia de
a
.
Passo 4
Para calcular o fluxo, precisamos do vetor normal
à superfície. Como estamos trabalhando com a superfície lateral do cilindro, o vetor normal será radial e externo, ou seja, na direção de
.
O diferencial de área na parametrização é dado pelo produto vetorial das derivadas parciais de
em relação a
e
:
Calculando as derivadas:
O produto vetorial resulta em:
Passo 5
Agora, calculamos o fluxo
do campo
através da superfície, que é dado por:
Substituindo
e
:
Portanto, a integral se simplifica para:
Passo 6
Agora, precisamos integrar sobre os limites de
e
que determinamos anteriormente. Como
, o integrando é constante.
Integrando em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície lateral do cilindro é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é a superfície plana
, interior ao cilindro
, com campo de vetores normais
tal que .
Calcule
, onde
, e
é a superfície de revolução obtida girando-se o segmento de reta
, com
e
, em torno do eixo
, onde o vetor normal
é exterior a
.
Suponha que uma curva seja dada pela equação paramétrica
onde a imagem de
é
e a imagem de
é
. O que você pode dizer sobre a curva?