Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde F=3 y^2 z i+y j+z k e S é a superfície plana y+z=2, interior ao cilindro x^2+y^2=1, com campo de vetores normais n tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! O enunciado pede para calcular a integral de fluxo integral duplaS F cdot n , dS, onde o campo vetorial F é dado por 3 y^2 z i + y j + z k. A superfície S é o plano y + z = 2 dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1, e o vetor normal n deve satisfazer n cdot k < 0. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial como o cálculo de integrais de superfície e o entendimento de vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o vetor normal n à superfície S. A superfície é definida pelo plano y + z = 2, que pode ser reescrito como y + z - 2 = 0. Os coeficientes das variáveis y e z nos dão o vetor normal ao plano, que é n0 = (0, 1, 1). Porém, precisamos que n cdot k < 0. Como k é (0,0,1), temos:
n0 cdot k = 1 > 0
Então, precisamos usar o vetor normal oposto:
n = (0, -1, -1)

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral de superfície. A integral de fluxo é dada por:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaD F cdot n , |n||n0| , dA
Como n já é normalizado corretamente, podemos simplificar diretamente:
F cdot n = (3 y^2 z, y, z) cdot (0, -1, -1) = -y - z

Passo 4

Vamos agora parametrizar a região D sobre o cilindro x^2 + y^2 = 1. Podemos usar coordenadas cilíndricas, onde x = r costheta, y = r sintheta, e z = 2 - y = 2 - r sintheta. O raio do cilindro é 1, então r varia de 0 a 1 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 5

Substituindo y e z na expressão -y - z, temos:
-y - z = -r sintheta - (2 - r sintheta) = -2
Então, a integral simplifica para:
integral duplaD (-2) cdot r , dr , dtheta
Aqui, r vem do elemento de área em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla:
-2 integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta = -2 integral0^2pi [ r^22 ]0^1 dtheta = -2 integral0^2pi 12 dtheta = -integral0^2pi dtheta = -2pi

Resposta

O valor da integral de fluxo é -2pi.

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