Calcule , onde e é a superfície plana , interior ao cilindro , com campo de vetores normais tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! O enunciado pede para calcular a integral de fluxo , onde o campo vetorial é dado por . A superfície é o plano dentro do cilindro , e o vetor normal deve satisfazer . Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial como o cálculo de integrais de superfície e o entendimento de vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o vetor normal à superfície . A superfície é definida pelo plano , que pode ser reescrito como . Os coeficientes das variáveis e nos dão o vetor normal ao plano, que é . Porém, precisamos que . Como é , temos:
Então, precisamos usar o vetor normal oposto:

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral de superfície. A integral de fluxo é dada por:
Como já é normalizado corretamente, podemos simplificar diretamente:

Passo 4

Vamos agora parametrizar a região sobre o cilindro . Podemos usar coordenadas cilíndricas, onde , , e . O raio do cilindro é 1, então varia de 0 a 1 e varia de a .

Passo 5

Substituindo e na expressão , temos:
Então, a integral simplifica para:
Aqui, vem do elemento de área em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla:

Resposta

O valor da integral de fluxo é .

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Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície , com , na direção do vetor normal exterior.
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