Calcule
, onde
e
é a superfície plana
, interior ao cilindro
, com campo de vetores normais
tal que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
, onde o campo vetorial
é dado por
. A superfície
é o plano
dentro do cilindro
, e o vetor normal
deve satisfazer
. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial como o cálculo de integrais de superfície e o entendimento de vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o vetor normal
à superfície
. A superfície é definida pelo plano
, que pode ser reescrito como
. Os coeficientes das variáveis
e
nos dão o vetor normal ao plano, que é
. Porém, precisamos que
. Como
é
, temos:
Então, precisamos usar o vetor normal oposto:
Passo 3
Agora, vamos expressar a integral de superfície. A integral de fluxo é dada por:
Como
já é normalizado corretamente, podemos simplificar diretamente:
Passo 4
Vamos agora parametrizar a região
sobre o cilindro
. Podemos usar coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. O raio do cilindro é 1, então
varia de 0 a 1 e
varia de
a
.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão
, temos:
Então, a integral simplifica para:
Aqui,
vem do elemento de área em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos calcular a integral dupla:
Resposta
O valor da integral de fluxo é
.