Calcule o fluxo do campo , através da superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e , com a normal apontando para fora do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície de um sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e . Para isso, vamos usar o conceito de fluxo em cálculo vetorial e aplicar o Teorema da Divergência. Precisaremos entender o que é fluxo, o Teorema da Divergência e como calcular integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de campo que “passa” por essa superfície. É como medir quanto de um fluido está atravessando uma janela.
Passo 3
Vamos usar o Teorema da Divergência, que facilita o cálculo do fluxo. Esse teorema diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume delimitado por . Matematicamente:
Isso simplifica nosso trabalho, pois calcular uma integral tripla pode ser mais fácil do que várias integrais de superfície.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Para nosso campo:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume . Como estamos lidando com um cilindro de raio 1 () e entre os planos e , é conveniente usar coordenadas cilíndricas:
Os limites serão:
A integral tripla fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em :
Agora, a integral fica:
Expandindo :
Integrando termo a termo:
Integrando em :
Resposta
O fluxo do campo através da superfície do sólido é .