Calcule , onde é a superfície esférica e a orientação normal exterior a .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma esfera . Especificamente, queremos encontrar , onde:
  • é a superfície da esfera definida por
  • é a orientação normal para fora da esfera
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Isso vai facilitar bastante nossa vida!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície do campo vetorial sobre é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume limitado por .
Então, nosso próximo passo é calcular a divergência de .

Passo 3

Vamos calcular a divergência :
Legal, então a divergência de é .

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de volume .
Como estamos trabalhando com uma esfera de raio 1, faz sentido usar coordenadas esféricas para simplificar a integração. Nas coordenadas esféricas, sabemos que:
E o elemento de volume é:
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral tripla:
Primeiro, integramos em relação a :
Depois, em relação a :
E por último, em relação a :
Então, multiplicando tudo:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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Calcule , onde é a fronteira do cilindro e orientada para fora de .
Utilizando o teorema de Stokes, transforme em uma integral de linha e calcule: , sendo tal que .
Calcule o fluxo do campo , através da superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e , com a normal apontando para fora do sólido.
Calcule , onde e é definida por e .