Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde F(x, y, z)=x^3 i+y^3 j+z^3 k, S é a superfície esférica x^2+y^2+z^2=1 e n a orientação normal exterior a S.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma esfera S. Especificamente, queremos encontrar integral duplaS F cdot n , dS, onde:
  • F(x, y, z) = x^3 i + y^3 j + z^3 k
  • S é a superfície da esfera definida por x^2 + y^2 + z^2 = 1
  • n é a orientação normal para fora da esfera
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Isso vai facilitar bastante nossa vida!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície do campo vetorial F sobre S é igual à integral de volume da divergência de F sobre o volume V limitado por S.
Então, nosso próximo passo é calcular a divergência de F.

Passo 3

Vamos calcular a divergência nabla cdot F:
nabla cdot F = partial (x^3)partial x + partial (y^3)partial y + partial (z^3)partial z = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3(x^2 + y^2 + z^2)
Legal, então a divergência de F é 3(x^2 + y^2 + z^2).

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de volume integral triplaV 3(x^2 + y^2 + z^2) , dV.
Como estamos trabalhando com uma esfera de raio 1, faz sentido usar coordenadas esféricas para simplificar a integração. Nas coordenadas esféricas, sabemos que:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2
E o elemento de volume é:
dV = r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi
Então, nossa integral fica:
integral triplaV 3r^2 cdot r^2 sin theta , dr , dtheta , dphi = 3 integral triplaV r^4 sin theta , dr , dtheta , dphi

Passo 5

Vamos resolver a integral tripla:
3 integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^4 sin theta , dr , dtheta , dphi
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15
Depois, em relação a theta:
integral0^pi sin theta , dtheta = 2
E por último, em relação a phi:
integral0^2pi dphi = 2pi
Então, multiplicando tudo:
3 times 15 times 2 times 2pi = 12pi5

Resposta

A integral de superfície é igual a dfrac12,pi5.

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