Calcule
, onde
é a superfície esférica
e
a orientação normal exterior a
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! A gente precisa calcular a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma esfera
. Especificamente, queremos encontrar
, onde:
-
-
é a superfície da esfera definida por -
é a orientação normal para fora da esfera
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Isso vai facilitar bastante nossa vida!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície do campo vetorial
sobre
é igual à integral de volume da divergência de
sobre o volume
limitado por
.
Então, nosso próximo passo é calcular a divergência de
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência
:
Legal, então a divergência de
é
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de volume
.
Como estamos trabalhando com uma esfera de raio 1, faz sentido usar coordenadas esféricas para simplificar a integração. Nas coordenadas esféricas, sabemos que:
E o elemento de volume é:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral tripla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, em relação a
:
E por último, em relação a
:
Então, multiplicando tudo:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a fronteira do cilindro
e
orientada para fora de
.
Utilizando o teorema de Stokes, transforme
em uma integral de linha e calcule:
, sendo
tal que
.
Calcule o fluxo do campo
, através da superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
, com a normal
apontando para fora do sólido.
Calcule
, onde
e
é definida por
e
.