Calcule
, onde
e
é definida por
e
.
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é composta por três partes:
-
, com , -
, com , -
, com .
Vamos utilizar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) para facilitar o cálculo. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.
Passo 2
Primeiro, calculamos a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
,
, e
.
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 3
Como a divergência de
é zero, aplicando o Teorema de Gauss temos:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo do campo
, através da superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
, com a normal
apontando para fora do sólido.
Calcule
, onde
é a superfície esférica
e
a orientação normal exterior a
.
Seja
de classe
, tal que
. Calcule
onde
é a esfera
, com
exterior a
.
Seja
de classe
. Seja
um sólido e seja
a fronteira de
, com normal exterior
. Prove que
, onde
é a derivada direcional de
na direção do vetor unitário
.