Calcule , onde e é definida por e .

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície , onde . A superfície é composta por três partes:
  1. , com ,
  2. , com ,
  3. , com .
Vamos utilizar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) para facilitar o cálculo. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência de . A divergência é dada por:
Onde , , e .
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 3

Como a divergência de é zero, aplicando o Teorema de Gauss temos:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule o fluxo do campo , através da superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e , com a normal apontando para fora do sólido.
Calcule , onde é a superfície esférica e a orientação normal exterior a .
Seja de classe , tal que . Calcule onde é a esfera , com exterior a .
Seja de classe . Seja um sólido e seja a fronteira de , com normal exterior . Prove que , onde é a derivada direcional de na direção do vetor unitário .