Calcule integral duplaS F cdot n d S, onde F(x, y, z)=x i+(-2 y+e^x cos z) j+(z+x^2) k e S é definida por z=9-x^2-y^2, 0 <= z <= 5,z=5,1 <= x^2+y^2 <= 4 e z=8-3(x^2+y^2), x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, onde F(x, y, z) = x i + (-2y + e^x cos z) j + (z + x^2) k. A superfície S é composta por três partes:
  1. z = 9 - x^2 - y^2, com 0 <= z <= 5,
  2. z = 5, com 1 <= x^2 + y^2 <= 4,
  3. z = 8 - 3(x^2 + y^2), com x^2 + y^2 <= 1.
Vamos utilizar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência) para facilitar o cálculo. Esse teorema relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo.

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde Fx = x, Fy = -2y + e^x cos z, e Fz = z + x^2.
Calculando cada derivada:
partial Fxpartial x = 1
partial Fypartial y = -2
partial Fzpartial z = 1
Então,
nabla cdot F = 1 - 2 + 1 = 0

Passo 3

Como a divergência de F é zero, aplicando o Teorema de Gauss temos:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV = integral triplaV 0 , dV = 0

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS é igual a 0.

Exercícios relacionados