Seja
de classe
, tal que
. Calcule
onde
é a esfera
, com
exterior a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função
que é duas vezes diferenciável (
) e o Laplaciano dela é
. A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
é a esfera de raio 1 (
) e
é o vetor normal para fora dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que é super útil para relacionar integrais de superfície com integrais de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume da divergência desse campo sobre a região
limitada por
. Matematicamente, isso fica assim:
No nosso caso, o campo vetorial
é
. Então, a integral que queremos calcular fica:
Passo 3
Sabemos que
. Então, nossa integral de volume fica:
Agora, precisamos calcular essa integral sobre o volume da esfera de raio 1.
Passo 4
Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, temos:
E o elemento de volume
é dado por:
Como
, nossa integral fica:
Vamos resolver passo a passo:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Multiplicando tudo: