Seja de classe , tal que . Calcule onde é a esfera , com exterior a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função que é duas vezes diferenciável ( ) e o Laplaciano dela é . A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a esfera de raio 1 ( ) e é o vetor normal para fora dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que é super útil para relacionar integrais de superfície com integrais de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência desse campo sobre a região limitada por . Matematicamente, isso fica assim:
No nosso caso, o campo vetorial é . Então, a integral que queremos calcular fica:

Passo 3

Sabemos que . Então, nossa integral de volume fica:
Agora, precisamos calcular essa integral sobre o volume da esfera de raio 1.

Passo 4

Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, temos:
E o elemento de volume é dado por:
Como , nossa integral fica:
Vamos resolver passo a passo:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Multiplicando tudo:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule , onde e é definida por e .
Calcule o fluxo do campo , através da superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e , com a normal apontando para fora do sólido.
Seja de classe . Seja um sólido e seja a fronteira de , com normal exterior . Prove que , onde é a derivada direcional de na direção do vetor unitário .
Calcule , sendo e a curva interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .