Seja f: R^3 longrightarrow R de classe C^2, tal que nabla^2 f=x^2+y^2+z^2. Calcule integral duplaS nabla f cdot n d S onde S é a esfera x^2+y^2+z^2=1, com n exterior a S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função que é duas vezes diferenciável ( ) e o Laplaciano dela é . A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a esfera de raio 1 ( ) e é o vetor normal para fora dessa esfera. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que é super útil para relacionar integrais de superfície com integrais de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Esse teorema diz que a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV sobre uma superfície fechada integral duplaS nabla f cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot (nabla f) , dV = integral triplaV nabla^2 f , dV é igual à integral de volume da divergência desse campo sobre a região limitada por . Matematicamente, isso fica assim:
No nosso caso, o campo vetorial é . Então, a integral que queremos calcular fica:

Passo 3

Sabemos que integral triplaV (x^2 + y^2 + z^2) , dV . Então, nossa integral de volume fica:
Agora, precisamos calcular essa integral sobre o volume da esfera de raio 1.

Passo 4

Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, temos:
x = r sintheta cosphi y = r sintheta sinphi z = r costheta
E o elemento de volume dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi é dado por:
integral triplaV r^2 cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi = integral0^2pi integral0^pi integral0^1 r^4 sintheta , dr , dtheta , dphi
Como integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 15 , nossa integral fica:
integral0^pi sintheta , dtheta = [ -costheta ]0^pi = 2
Vamos resolver passo a passo:
  1. Integral em integral0^2pi dphi = 2pi :
15 times 2 times 2pi = 4pi5
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Multiplicando tudo:

Resposta

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