Calcule o fluxo de um campo escalar
através de uma superfície esférica de raio
metros centrada na origem. Utilize as coordenadas esféricas para parametrizar a superfície e justificar a escolha do sistema de coordenadas.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo de um campo escalar
através de uma superfície esférica de raio
metros, centrada na origem. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas porque elas facilitam bastante o trabalho com superfícies esféricas. Precisamos entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula correta para calcular o fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando três números: o raio
, o ângulo polar
(medido a partir do eixo z) e o ângulo azimutal
(medido no plano xy a partir do eixo x). Esse sistema é ideal para nossa superfície esférica porque a equação da esfera fica muito simples: todos os pontos têm o mesmo raio
metros.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície da esfera usando coordenadas esféricas. Como estamos em uma esfera de raio
, temos:
Aqui,
varia de
a
e
de
a
.
Passo 4
Para calcular o fluxo de
através da superfície, precisamos integrar
sobre a área da esfera. A fórmula do fluxo para um campo escalar através de uma superfície fechada
é:
Onde
é o elemento de área na superfície.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a expressão para
em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, o elemento de área da esfera é dado por:
Substituindo
metros, temos:
Passo 6
Vamos substituir a expressão de
na integral. Sabemos que:
Em coordenadas esféricas, isso fica:
Simplificando:
Então,
na superfície da esfera.
Passo 7
Agora, substituímos
e
na integral do fluxo:
Isso simplifica para:
Passo 8
Vamos resolver as integrais. Primeiro, a integral em
:
Em seguida, a integral em
:
Multiplicando tudo:
Resposta
O fluxo do campo escalar
através da superfície esférica de raio 3 metros é
unidades de fluxo.