Calcule o fluxo de um campo escalar phi(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 através de uma superfície esférica de raio R=3 metros centrada na origem. Utilize as coordenadas esféricas para parametrizar a superfície e justificar a escolha do sistema de coordenadas.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular o fluxo de um campo escalar através de uma superfície esférica de raio metros, centrada na origem. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas porque elas facilitam bastante o trabalho com superfícies esféricas. Precisamos entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula correta para calcular o fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando três números: o raio , o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e o ângulo azimutal (medido no plano xy a partir do eixo x). Esse sistema é ideal para nossa superfície esférica porque a equação da esfera fica muito simples: todos os pontos têm o mesmo raio metros.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície da esfera usando coordenadas esféricas. Como estamos em uma esfera de raio x = R sintheta cosphi , temos:
y = R sintheta sinphi
z = R costheta
Aqui, varia de a e de a .

Passo 4

Para calcular o fluxo de Fluxo = integral duplaS phi , dS através da superfície, precisamos integrar sobre a área da esfera. A fórmula do fluxo para um campo escalar através de uma superfície fechada é:
Onde é o elemento de área na superfície.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a expressão para dS = R^2 sintheta , dtheta , dphi em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, o elemento de área da esfera é dado por:
dS = 9 sintheta , dtheta , dphi
Substituindo metros, temos:

Passo 6

Vamos substituir a expressão de phi(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 na integral. Sabemos que:
phi = (3 sintheta cosphi)^2 + (3 sintheta sinphi)^2 + (3 costheta)^2
Em coordenadas esféricas, isso fica:
phi = 9 sin^2theta cos^2phi + 9 sin^2theta sin^2phi + 9 cos^2theta = 9 (sin^2theta (cos^2phi + sin^2phi) + cos^2theta) = 9 (sin^2theta + cos^2theta) = 9
Simplificando:
Então, na superfície da esfera.

Passo 7

Agora, substituímos Fluxo = integral duplaS 9 times 9 sintheta , dtheta , dphi = 81 integral duplaS sintheta , dtheta , dphi e 81 integral0^2pi integral0^pi sintheta , dtheta , dphi na integral do fluxo:
Isso simplifica para:

Passo 8

Vamos resolver as integrais. Primeiro, a integral em integral0^pi sintheta , dtheta = 2 :
integral0^2pi dphi = 2pi
Em seguida, a integral em 81 times 2 times 2pi = 81 times 4pi = 324pi :
Multiplicando tudo:

Resposta

O fluxo do campo escalar através da superfície esférica de raio 3 metros é unidades de fluxo.

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