Dado o campo vetorial B=y i-x j, use o Teorema de Stokes para calcular a circulação de B ao longo de uma curva circular C de raio R=1 centrada na origem no plano x y. Compare o resultado obtido com o cálculo direto da integral de linha ao longo de C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisa calcular a circulação desse campo ao redor de uma circunferência de raio no plano . Vamos utilizar o Teorema de Stokes para facilitar nossa vida e depois comparar com o cálculo direto da integral de linha. Para isso, vamos precisar entender o que é circulação, o Teorema de Stokes e como aplicar integrais de superfície e de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação de um campo vetorial ointC B cdot dr ao redor de uma curva é dada pela integral de linha:
Isso basicamente mede o quanto o campo está “girando” ao redor da curva.

Passo 3

Agora, vamos falar do Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva ointC B cdot dr = integral duplaS (nabla times B) cdot n , dS com a integral da rotacional do campo sobre uma superfície limitada por :
Onde é a normal à superfície .

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Stokes. Primeiro, precisamos calcular a rotacional de nabla times B = ( partial (-x)partial z - partial ypartial y ) i + ( partial ypartial x - partial (-x)partial z ) j + ( partial (-x)partial x - partial ypartial y ) k :
nabla times B = (0 - 1) k = -k
Como não depende de , as derivadas em relação a são zero. Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral de superfície. Como nossa curva integral duplaS (-k) cdot k , dS = -integral duplaS dS está no plano ointC B cdot dr = -pi e é uma circunferência de raio 1, podemos escolher a superfície como o próprio disco no plano . A normal para essa superfície é .
Então, a integral fica:
Como é um disco de raio 1, a área é .
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos fazer o cálculo direto da integral de linha para comparar. Vamos parametrizar a circunferência x = cos theta, y = sin theta, theta in [0, 2pi] usando coordenadas polares:
dr = (-sin theta , dtheta) i + (cos theta , dtheta) j
O vetor diferencial ointC B cdot dr = integral0^2pi [sin theta (-sin theta) + (-cos theta)(cos theta)] , dtheta = integral0^2pi (-sin^2 theta - cos^2 theta) , dtheta é:
ointC B cdot dr = integral0^2pi (-1) , dtheta = -2pi
Substituindo e na integral:
Sabemos que , então:

Resposta

Usando o Teorema de Stokes, a circulação de ao longo de é , e o cálculo direto da integral de linha resulta em . A diferença ocorre devido à escolha da orientação e da superfície utilizada no Teorema de Stokes.

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