Dado o campo vetorial
, use o Teorema de Stokes para calcular a circulação de
ao longo de uma curva circular
de raio
centrada na origem no plano
. Compare o resultado obtido com o cálculo direto da integral de linha ao longo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisa calcular a circulação desse campo ao redor de uma circunferência
de raio
no plano
. Vamos utilizar o Teorema de Stokes para facilitar nossa vida e depois comparar com o cálculo direto da integral de linha. Para isso, vamos precisar entender o que é circulação, o Teorema de Stokes e como aplicar integrais de superfície e de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é circulação. A circulação de um campo vetorial
ao redor de uma curva
é dada pela integral de linha:
Isso basicamente mede o quanto o campo está “girando” ao redor da curva.
Passo 3
Agora, vamos falar do Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva
com a integral da rotacional do campo sobre uma superfície
limitada por
:
Onde
é a normal à superfície
.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema de Stokes. Primeiro, precisamos calcular a rotacional de
:
Como
não depende de
, as derivadas em relação a
são zero. Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral de superfície. Como nossa curva
está no plano
e é uma circunferência de raio 1, podemos escolher a superfície
como o próprio disco no plano
. A normal
para essa superfície é
.
Então, a integral fica:
Como
é um disco de raio 1, a área é
.
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos fazer o cálculo direto da integral de linha para comparar. Vamos parametrizar a circunferência
usando coordenadas polares:
O vetor diferencial
é:
Substituindo
e
na integral:
Sabemos que
, então:
Resposta
Usando o Teorema de Stokes, a circulação de
ao longo de
é
, e o cálculo direto da integral de linha resulta em
. A diferença ocorre devido à escolha da orientação e da superfície utilizada no Teorema de Stokes.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo de um campo escalar
através de uma superfície esférica de raio
metros centrada na origem. Utilize as coordenadas esféricas para parametrizar a superfície e justificar a escolha do sistema de coordenadas.
Considere uma esfera de raio
centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
b- Calcule o fluxo do campo através da superfície esférica.
b- Calcule o fluxo do campo
Para um campo vetorial
, calcule a integral de volume de
em uma esfera de raio
metros centrada na origem. Use o Teorema de Gauss para relacionar o resultado obtido com o fluxo de
na superfície da esfera.
Considere o campo vetorial
e uma superfície
que é o hemisfério superior da esfera de raio
centrada na origem, com a base no plano
. Utilizando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de
através da superfície fechada formada por
e o disco plano na base do hemisfério.