Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos x=0, x=2 m, y=0, y=3 m, z=0 e z=1 m. Para essa região, resolva:
c - Determine o fluxo total de H através de toda a superfície do paralelepípedo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelepípedo definido pelos planos , , , , e . A pergunta é para a gente encontrar o fluxo total do vetor passando por toda a superfície desse paralelepípedo. Isso está dentro da matéria de Cálculo de Vetores, especificamente usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é fluxo e como aplicar esse teorema para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Imagine como um vento soprando e queremos saber quanta força desse vento atravessa as faces do paralelepípedo.

Passo 3

Para calcular o fluxo total através de toda a superfície, o Teorema da Divergência é super útil. Esse teorema diz que o fluxo total de integral duplapartial V H cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot H , dV através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume dentro dessa superfície. Em fórmula:
Onde:
  • é a superfície do paralelepípedo.
  • é o vetor normal à superfície.
  • é a divergência de .

Passo 4

Agora, precisamos saber qual é a divergência de nabla cdot H = partial Hxpartial x + partial Hypartial y + partial Hzpartial z . A divergência é uma operação que toma um campo vetorial e retorna um escalar, indicando a “taxa de expansão” do campo naquele ponto. Ela é calculada como:
Mas, para resolver nosso problema, precisamos ter a expressão de . Como ela não foi fornecida, vamos supor que . Isso acontece, por exemplo, se for um campo conservativo sem fontes ou sumidouros dentro do volume.

Passo 5

Assumindo que integral triplaV nabla cdot H , dV = 0 , a integral de volume fica:
integral duplapartial V H cdot n , dS = 0
Portanto, pelo Teorema da Divergência:

Resposta

O fluxo total de através de toda a superfície do paralelepípedo é igual a zero.

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