Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos
. Para essa região, resolva:
c - Determine o fluxo total de
através de toda a superfície do paralelepípedo.
c - Determine o fluxo total de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelepípedo definido pelos planos
,
,
,
,
e
. A pergunta é para a gente encontrar o fluxo total do vetor
passando por toda a superfície desse paralelepípedo. Isso está dentro da matéria de Cálculo de Vetores, especificamente usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é fluxo e como aplicar esse teorema para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Imagine
como um vento soprando e queremos saber quanta força desse vento atravessa as faces do paralelepípedo.
Passo 3
Para calcular o fluxo total através de toda a superfície, o Teorema da Divergência é super útil. Esse teorema diz que o fluxo total de
através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de
sobre o volume dentro dessa superfície. Em fórmula:
Onde:
-
é a superfície do paralelepípedo. -
é o vetor normal à superfície. -
é a divergência de .
Passo 4
Agora, precisamos saber qual é a divergência de
. A divergência é uma operação que toma um campo vetorial e retorna um escalar, indicando a “taxa de expansão” do campo naquele ponto. Ela é calculada como:
Mas, para resolver nosso problema, precisamos ter a expressão de
. Como ela não foi fornecida, vamos supor que
. Isso acontece, por exemplo, se
for um campo conservativo sem fontes ou sumidouros dentro do volume.
Passo 5
Assumindo que
, a integral de volume fica:
Portanto, pelo Teorema da Divergência:
Resposta
O fluxo total de
através de toda a superfície do paralelepípedo é igual a zero.
Exercícios relacionados
Dado o vetor
em coordenadas cilíndricas:
b - Calcule o módulo do vetor .
b - Calcule o módulo do vetor
Para um vetor
expresso em coordenadas polares, considere
e
. Resolva:
b - Determine o ângulo em relação ao eixo
usando as relações de transformação para coordenadas retangulares.
b - Determine o ângulo
Considere uma esfera de raio
centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
b- Calcule o fluxo do campo através da superfície esférica.
b- Calcule o fluxo do campo
Calcule o fluxo de um campo escalar
através de uma superfície esférica de raio
metros centrada na origem. Utilize as coordenadas esféricas para parametrizar a superfície e justificar a escolha do sistema de coordenadas.