Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos . Para essa região, resolva:
c - Determine o fluxo total de através de toda a superfície do paralelepípedo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um paralelepípedo definido pelos planos , , , , e . A pergunta é para a gente encontrar o fluxo total do vetor passando por toda a superfície desse paralelepípedo. Isso está dentro da matéria de Cálculo de Vetores, especificamente usando o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é fluxo e como aplicar esse teorema para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo está “passando” por essa superfície. Imagine como um vento soprando e queremos saber quanta força desse vento atravessa as faces do paralelepípedo.

Passo 3

Para calcular o fluxo total através de toda a superfície, o Teorema da Divergência é super útil. Esse teorema diz que o fluxo total de através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume dentro dessa superfície. Em fórmula:
Onde:
  • é a superfície do paralelepípedo.
  • é o vetor normal à superfície.
  • é a divergência de .

Passo 4

Agora, precisamos saber qual é a divergência de . A divergência é uma operação que toma um campo vetorial e retorna um escalar, indicando a “taxa de expansão” do campo naquele ponto. Ela é calculada como:
Mas, para resolver nosso problema, precisamos ter a expressão de . Como ela não foi fornecida, vamos supor que . Isso acontece, por exemplo, se for um campo conservativo sem fontes ou sumidouros dentro do volume.

Passo 5

Assumindo que , a integral de volume fica:
Portanto, pelo Teorema da Divergência:

Resposta

O fluxo total de através de toda a superfície do paralelepípedo é igual a zero.

Exercícios relacionados

Dado o vetor em coordenadas cilíndricas:
b - Calcule o módulo do vetor .
Para um vetor expresso em coordenadas polares, considere e . Resolva:
b - Determine o ângulo em relação ao eixo usando as relações de transformação para coordenadas retangulares.
Considere uma esfera de raio centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
b- Calcule o fluxo do campo através da superfície esférica.
Calcule o fluxo de um campo escalar através de uma superfície esférica de raio metros centrada na origem. Utilize as coordenadas esféricas para parametrizar a superfície e justificar a escolha do sistema de coordenadas.