Para um campo vetorial A=x i+y j+z k, calcule a integral de volume de nabla cdot A em uma esfera de raio R=2 metros centrada na origem. Use o Teorema de Gauss para relacionar o resultado obtido com o fluxo de A na superfície da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de volume de nabla cdot A dentro de uma esfera de raio R=2 metros centrada na origem, onde o campo vetorial é A=x i+y j+z k. Vamos usar o Teorema de Gauss para relacionar esse resultado com o fluxo de A na superfície da esfera. Para isso, precisamos entender o que é divergente, como calcular integrais de volume e aplicar o Teorema de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a divergente de A. A divergente de um campo vetorial A = Ax i + Ay j + Az k é dada por:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
No nosso caso, Ax = x, Ay = y e Az = z, então:
nabla cdot A = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 3

Agora que sabemos que nabla cdot A = 3, precisamos calcular a integral de volume dessa divergente na esfera de raio R=2 metros. A integral de volume é basicamente somar todos esses valores de divergente dentro da esfera. Como a divergente é constante (3), a integral fica:
integral triplaV nabla cdot A , dV = 3 times Volume da esfera
A fórmula para o volume de uma esfera é:
V = 43 pi R^3
Substituindo R=2 metros:
V = 43 pi (2)^3 = 323 pi , m^3

Passo 4

Então, a integral de volume fica:
integral triplaV nabla cdot A , dV = 3 times 323 pi = 32 pi , m^3

Passo 5

Agora, vamos usar o Teorema de Gauss, que diz que a integral de volume da divergente de um campo vetorial é igual ao fluxo desse campo através da superfície fechada que delimita o volume. Matematicamente:
integral triplaV nabla cdot A , dV = integral duplaS A cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície.
Já calculamos a integral de volume e sabemos que ela é 32 pi. Portanto, o fluxo de A na superfície da esfera também é 32 pi.

Resposta

A integral de volume de nabla cdot A na esfera de raio 2 metros é 32 pi e o fluxo de A na superfície da esfera também é 32 pi.

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