Para um campo vetorial , calcule a integral de volume de em uma esfera de raio metros centrada na origem. Use o Teorema de Gauss para relacionar o resultado obtido com o fluxo de na superfície da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de volume de dentro de uma esfera de raio metros centrada na origem, onde o campo vetorial é . Vamos usar o Teorema de Gauss para relacionar esse resultado com o fluxo de na superfície da esfera. Para isso, precisamos entender o que é divergente, como calcular integrais de volume e aplicar o Teorema de Gauss.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a divergente de . A divergente de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , e , então:

Passo 3

Agora que sabemos que , precisamos calcular a integral de volume dessa divergente na esfera de raio metros. A integral de volume é basicamente somar todos esses valores de divergente dentro da esfera. Como a divergente é constante (3), a integral fica:
A fórmula para o volume de uma esfera é:
Substituindo metros:

Passo 4

Então, a integral de volume fica:

Passo 5

Agora, vamos usar o Teorema de Gauss, que diz que a integral de volume da divergente de um campo vetorial é igual ao fluxo desse campo através da superfície fechada que delimita o volume. Matematicamente:
Onde é o vetor normal à superfície.
Já calculamos a integral de volume e sabemos que ela é . Portanto, o fluxo de na superfície da esfera também é .

Resposta

A integral de volume de na esfera de raio 2 metros é e o fluxo de na superfície da esfera também é .

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Seja , um campo vetorial definido em coordenadas esféricas. Calcule a divergência de e, em seguida, determine a integral de volume de sobre uma esfera de raio centrada na origem. Verifique o resultado obtido utilizando o Teorema de Gauss.