Para um campo vetorial
, calcule a integral de volume de
em uma esfera de raio
metros centrada na origem. Use o Teorema de Gauss para relacionar o resultado obtido com o fluxo de
na superfície da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de volume de
dentro de uma esfera de raio
metros centrada na origem, onde o campo vetorial é
. Vamos usar o Teorema de Gauss para relacionar esse resultado com o fluxo de
na superfície da esfera. Para isso, precisamos entender o que é divergente, como calcular integrais de volume e aplicar o Teorema de Gauss.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a divergente de
. A divergente de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
,
e
, então:
Passo 3
Agora que sabemos que
, precisamos calcular a integral de volume dessa divergente na esfera de raio
metros. A integral de volume é basicamente somar todos esses valores de divergente dentro da esfera. Como a divergente é constante (3), a integral fica:
A fórmula para o volume de uma esfera é:
Substituindo
metros:
Passo 4
Então, a integral de volume fica:
Passo 5
Agora, vamos usar o Teorema de Gauss, que diz que a integral de volume da divergente de um campo vetorial é igual ao fluxo desse campo através da superfície fechada que delimita o volume. Matematicamente:
Onde
é o vetor normal à superfície.
Já calculamos a integral de volume e sabemos que ela é
. Portanto, o fluxo de
na superfície da esfera também é
.
Resposta
A integral de volume de
na esfera de raio 2 metros é
e o fluxo de
na superfície da esfera também é
.
Exercícios relacionados
Dado o campo vetorial
, use o Teorema de Stokes para calcular a circulação de
ao longo de uma curva circular
de raio
centrada na origem no plano
. Compare o resultado obtido com o cálculo direto da integral de linha ao longo de
.
Calcule o fluxo de um campo escalar
através de uma superfície esférica de raio
metros centrada na origem. Utilize as coordenadas esféricas para parametrizar a superfície e justificar a escolha do sistema de coordenadas.
Considere o campo vetorial
e uma superfície
que é o hemisfério superior da esfera de raio
centrada na origem, com a base no plano
. Utilizando o Teorema de Gauss, calcule o fluxo de
através da superfície fechada formada por
e o disco plano na base do hemisfério.
Seja
, um campo vetorial definido em coordenadas esféricas. Calcule a divergência de
e, em seguida, determine a integral de volume de
sobre uma esfera de raio
centrada na origem. Verifique o resultado obtido utilizando o Teorema de Gauss.