Considere uma esfera de raio centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
b- Calcule o fluxo do campo através da superfície esférica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com raio centrada na origem e um campo vetorial dado por . Nosso objetivo aqui é calcular o fluxo desse campo através da superfície esférica. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo de campo e como calcular ele para campos com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, o que é fluxo de um campo vetorial? É uma medida de quanta “força” do campo passa por uma superfície. Matematicamente, o fluxo é calculado pela integral de superfície do produto escalar entre o campo e o vetor área diferencial :
No caso de uma esfera, a superfície é simétrica e o vetor área aponta radialmente para fora, na mesma direção de .

Passo 3

Como o campo também é radial e depende apenas de , o produto escalar simplifica para . Então, o fluxo fica:
Aqui, e é a área diferencial da esfera. Sabemos que a área total de uma esfera é , então a integral se torna:

Passo 4

Substituindo na expressão, temos:
Agora, substituímos :

Resposta

O fluxo do campo através da superfície esférica é .

Exercícios relacionados

Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos . Para essa região, resolva:
c - Determine o fluxo total de através de toda a superfície do paralelepípedo.
Dado o vetor em coordenadas cilíndricas:
b - Calcule o módulo do vetor .
Calcule o fluxo de um campo escalar através de uma superfície esférica de raio metros centrada na origem. Utilize as coordenadas esféricas para parametrizar a superfície e justificar a escolha do sistema de coordenadas.
Dado o campo vetorial , use o Teorema de Stokes para calcular a circulação de ao longo de uma curva circular de raio centrada na origem no plano . Compare o resultado obtido com o cálculo direto da integral de linha ao longo de .