Considere uma esfera de raio
centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
b- Calcule o fluxo do campo
através da superfície esférica.
b- Calcule o fluxo do campo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com raio
centrada na origem e um campo vetorial dado por
. Nosso objetivo aqui é calcular o fluxo desse campo através da superfície esférica. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo de campo e como calcular ele para campos com simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, o que é fluxo de um campo vetorial? É uma medida de quanta “força” do campo passa por uma superfície. Matematicamente, o fluxo
é calculado pela integral de superfície do produto escalar entre o campo
e o vetor área diferencial
:
No caso de uma esfera, a superfície é simétrica e o vetor área
aponta radialmente para fora, na mesma direção de
.
Passo 3
Como o campo
também é radial e depende apenas de
, o produto escalar
simplifica para
. Então, o fluxo fica:
Aqui,
e
é a área diferencial da esfera. Sabemos que a área total de uma esfera é
, então a integral se torna:
Passo 4
Substituindo
na expressão, temos:
Agora, substituímos
:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície esférica é
.
Exercícios relacionados
Considere um paralelepípedo retangular delimitado pelos planos
. Para essa região, resolva:
c - Determine o fluxo total de através de toda a superfície do paralelepípedo.
c - Determine o fluxo total de
Dado o vetor
em coordenadas cilíndricas:
b - Calcule o módulo do vetor .
b - Calcule o módulo do vetor
Calcule o fluxo de um campo escalar
através de uma superfície esférica de raio
metros centrada na origem. Utilize as coordenadas esféricas para parametrizar a superfície e justificar a escolha do sistema de coordenadas.
Dado o campo vetorial
, use o Teorema de Stokes para calcular a circulação de
ao longo de uma curva circular
de raio
centrada na origem no plano
. Compare o resultado obtido com o cálculo direto da integral de linha ao longo de
.