Considere uma esfera de raio r=5 m centrada na origem. Para essa esfera, resolva:
b- Calcule o fluxo do campo G=4 r r N / m^2 através da superfície esférica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera com raio centrada na origem e um campo vetorial dado por . Nosso objetivo aqui é calcular o fluxo desse campo através da superfície esférica. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo de campo e como calcular ele para campos com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, o que é fluxo de um campo vetorial? É uma medida de quanta “força” do campo passa por uma superfície. Matematicamente, o fluxo Phi = integral duplaS G cdot dA é calculado pela integral de superfície do produto escalar entre o campo e o vetor área diferencial :
No caso de uma esfera, a superfície é simétrica e o vetor área aponta radialmente para fora, na mesma direção de .

Passo 3

Como o campo Phi = integral duplaS G(r) , dA também é radial e depende apenas de Phi = G(r) times 4pi r^2 , o produto escalar simplifica para . Então, o fluxo fica:
Aqui, e é a área diferencial da esfera. Sabemos que a área total de uma esfera é , então a integral se torna:

Passo 4

Substituindo Phi = 4r times 4pi r^2 = 16pi r^3 na expressão, temos:
Phi = 16pi (5)^3 = 16pi times 125 = 2000pi
Agora, substituímos :

Resposta

O fluxo do campo através da superfície esférica é .

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