Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)
sum 1n!

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge usando o Teste de Comparação. A matéria envolvida aqui é Séries Numéricas e, mais especificamente, o Teste de Comparação para Séries. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série convergir ou divergir e como aplicar o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série. Uma série é a soma de termos de uma sequência infinita. No nosso caso, a série é , onde representa o fatorial de .

Passo 3

Agora, precisamos entender o que significa uma série converger ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando somamos infinitamente. Por outro lado, diverge se essa soma não tende a nenhum número finito.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste de Comparação. Esse teste é usado para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série cuja convergência já seja conhecida.

Passo 5

Escolhemos uma série com a qual vamos comparar nossa série sumn=1^infty 12^n = 1 . Sabemos que a s��rie geométrica converge, porque sua soma tende a um valor finito:

Passo 6

Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Para todo 1n! < 12^n natural:
Isso porque cresce muito mais rápido que .

Passo 7

Como todos os termos da nossa série são menores que os termos da série geométrica convergente , pelo Teste de Comparação, podemos concluir que nossa série também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Comparação.

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