Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge usando o Teste de Comparação. A matéria envolvida aqui é Séries Numéricas e, mais especificamente, o Teste de Comparação para Séries. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série convergir ou divergir e como aplicar o Teste de Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série. Uma série é a soma de termos de uma sequência infinita. No nosso caso, a série é
, onde
representa o fatorial de
.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que significa uma série converger ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando somamos infinitamente. Por outro lado, diverge se essa soma não tende a nenhum número finito.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste de Comparação. Esse teste é usado para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série cuja convergência já seja conhecida.
Passo 5
Escolhemos uma série com a qual vamos comparar nossa série
. Sabemos que a s��rie geométrica
converge, porque sua soma tende a um valor finito:
Passo 6
Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Para todo
natural:
Isso porque
cresce muito mais rápido que
.
Passo 7
Como todos os termos da nossa série
são menores que os termos da série geométrica convergente
, pelo Teste de Comparação, podemos concluir que nossa série também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação.
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;
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