Calcule as integrais
orientada pela campo normal que aponta para fora.
e
é o cilindro
;
Passo 1
Vamos resolver a integral de superfície
, onde
. A superfície
é o cilindro definido por
e
, orientada pela normal que aponta para fora.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de superfícies e o cálculo de integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Como o cilindro é definido por
, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.
Vamos representar o cilindro com os parâmetros
e
, onde
varia de
a
e
varia de
a
. Assim, a parametrização do cilindro é:
Passo 3
Em seguida, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o vetor normal
. Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
O vetor normal
pode ser encontrado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
A área diferencial
é então:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Substituindo
e
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Finalmente, integramos sobre os limites de
e
:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo do campo
, através da esfera
orientada pelo vetor normal que aponta para fora.
Deduza a fórmula de Bháskara para a equação quadrática
.
Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)
Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.
(b) Determine as coordenadas do ponto de máximo.
(b) Determine as coordenadas