Calcule as integrais integralS F cdot d S, S orientada pela campo normal que aponta para fora.
F(x, y, z)=(x, y, z) e S é o cilindro x^2+y^2=a^2, 0 <= z <= h;

Passo 1

Vamos resolver a integral de superfície , onde . A superfície é o cilindro definido por e , orientada pela normal que aponta para fora.
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de superfícies e o cálculo de integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro. Como o cilindro é definido por r(theta, z) = (a cos theta, a sin theta, z) , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.
Vamos representar o cilindro com os parâmetros e , onde varia de a e varia de a . Assim, a parametrização do cilindro é:

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície para calcular o vetor normal partial rpartial theta = (-a sin theta, a cos theta, 0) . Calculamos as derivadas parciais de partial rpartial z = (0, 0, 1) em relação a e :

Passo 4

O vetor normal n = partial rpartial theta times partial rpartial z = (a cos theta, a sin theta, 0) pode ser encontrado pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
d S = n , d theta , d z = (a cos theta, a sin theta, 0) , d theta , d z
A área diferencial é então:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot d S = (x, y, z) cdot (a cos theta, a sin theta, 0) , d theta , d z :
F cdot d S = (a cos theta cdot a cos theta + a sin theta cdot a sin theta + z cdot 0) , d theta , d z = a^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) , d theta , d z
Substituindo F cdot d S = a^2 , d theta , d z e :
Sabemos que , então:

Passo 6

Finalmente, integramos sobre os limites de integralS F cdot d S = integral0^h integral0^2pi a^2 , d theta , d z = a^2 integral0^h ( integral0^2pi d theta ) d z = a^2 integral0^h 2pi , d z = 2pi a^2 h e :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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