Calcule o fluxo do campo
, através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
, onde
é a normal unitária exterior a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através de um tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume que ele delimita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Vamos calcular a divergência do nosso campo
.
Passo 3
Calculando cada derivada parcial:
- Para
:
- Para :
- Para
:
Passo 4
Agora, somando essas derivadas para obter a divergência:
Legal, a divergência é constante e igual a 4.
Passo 5
Segundo o Teorema da Divergência, o fluxo através do tetraedro é igual à integral da divergência sobre o volume do tetraedro. Então, temos:
Passo 6
Vamos calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados
,
,
e pelo plano
. A fórmula do volume de um tetraedro com essas restrições é:
Como a base é o triângulo no plano
, com vértices em
,
e
, o volume fica:
Passo 7
Agora, substituindo o volume na expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo do campo
através do tetraedro é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo
e
a curva interseção das superfícies
e
, orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano
.
Seja
de classe
. Seja
um sólido e seja
a fronteira de
, com normal exterior
. Prove que
, onde
é a derivada direcional de
na direção do vetor unitário
.
Seja
. Determine o fluxo de
através da parte do paraboloide
que está acima do plano
, sendo
a normal com componente
não negativa.
Calcule
, sendo
e
a parte da esfera
, com
, orientada com
exterior.