Calcule o fluxo do campo , através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano , onde é a normal unitária exterior a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através de um tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume que ele delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Vamos calcular a divergência do nosso campo .

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, somando essas derivadas para obter a divergência:
Legal, a divergência é constante e igual a 4.

Passo 5

Segundo o Teorema da Divergência, o fluxo através do tetraedro é igual à integral da divergência sobre o volume do tetraedro. Então, temos:

Passo 6

Vamos calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados , , e pelo plano . A fórmula do volume de um tetraedro com essas restrições é:
Á
Como a base é o triângulo no plano , com vértices em , e , o volume fica:

Passo 7

Agora, substituindo o volume na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo do campo através do tetraedro é .

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Calcule , sendo e a curva interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .
Seja de classe . Seja um sólido e seja a fronteira de , com normal exterior . Prove que , onde é a derivada direcional de na direção do vetor unitário .
Seja . Determine o fluxo de através da parte do paraboloide que está acima do plano , sendo a normal com componente não negativa.
Calcule , sendo e a parte da esfera , com , orientada com exterior.