Calcule o fluxo do campo F(x, y, z) = (x + cos(x), y + y * sen(x), 2 * z), através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 1, onde n é a normal unitária exterior a S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através de um tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume que ele delimita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Vamos calcular a divergência do nosso campo F.

Passo 3

Calculando cada derivada parcial:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, somando essas derivadas para obter a divergência:
Legal, a divergência é constante e igual a 4.

Passo 5

Segundo o Teorema da Divergência, o fluxo através do tetraedro é igual à integral da divergência sobre o volume do tetraedro. Então, temos:

Passo 6

Vamos calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados x = 0, y = 0, z = 0 e pelo plano x + y + z = 1. A fórmula do volume de um tetraedro com essas restrições é:
Á
Como a base é o triângulo no plano x + y + z = 1, com vértices em (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), o volume fica:

Passo 7

Agora, substituindo o volume na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo do campo F através do tetraedro é 2/3.

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