Calcule , sendo e a curva interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde . A curva é a interseção das superfícies e , com orientação anti-horária no plano . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de linha e o Teorema de Stokes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção entre o cilindro e o plano . Isso forma uma curva fechada que é basicamente um círculo com raio 2, deslocado no eixo .

Passo 3

Para calcular a integral de linha, uma maneira eficiente é usar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira. Ou seja:
Onde é uma superfície com borda e é o vetor normal à superfície.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de , que é :
Calculando os determinantes:
Simplificando:

Passo 5

Vimos que . Isso significa que o rotacional de é nulo em todo o espaço. Segundo o Teorema de Stokes, se o rotacional de for zero, então a integral de linha ao redor de qualquer curva fechada será zero.

Passo 6

Portanto, aplicando o Teorema de Stokes:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja de classe . Seja um sólido e seja a fronteira de , com normal exterior . Prove que , onde é a derivada direcional de na direção do vetor unitário .
Seja de classe , tal que . Calcule onde é a esfera , com exterior a .
Calcule o fluxo do campo , através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano , onde é a normal unitária exterior a .
Seja . Determine o fluxo de através da parte do paraboloide que está acima do plano , sendo a normal com componente não negativa.