Calcule , sendo e a curva interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde . A curva é a interseção das superfícies e , com orientação anti-horária no plano . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de linha e o Teorema de Stokes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção entre o cilindro e o plano . Isso forma uma curva fechada que é basicamente um círculo com raio 2, deslocado no eixo .
Passo 3
Para calcular a integral de linha, uma maneira eficiente é usar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície que tem como fronteira. Ou seja:
Onde é uma superfície com borda e é o vetor normal à superfície.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de , que é :
Calculando os determinantes:
Simplificando:
Passo 5
Vimos que . Isso significa que o rotacional de é nulo em todo o espaço. Segundo o Teorema de Stokes, se o rotacional de for zero, então a integral de linha ao redor de qualquer curva fechada será zero.