Calcule ointC F cdot d r, sendo F(x, y, z)=(y z+z, x z+e^-y, x y+e^-z) e C a curva interseção das superfícies x^2+y^2=4 e z=y+3, orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde . A curva é a interseção das superfícies e , com orientação anti-horária no plano . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de linha e o Teorema de Stokes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção entre o cilindro e o plano . Isso forma uma curva fechada que é basicamente um círculo com raio 2, deslocado no eixo .

Passo 3

Para calcular a integral de linha, uma maneira eficiente é usar o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional de ointC F cdot d r = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS sobre uma superfície que tem como fronteira. Ou seja:
Onde é uma superfície com borda e é o vetor normal à superfície.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y z + z & x z + e^-y & x y + e^-z , que é nabla times F = ( partialpartial y(x y + e^-z) - partialpartial z(x z + e^-y) ) i - ( partialpartial x(x y + e^-z) - partialpartial z(y z + z) ) j + ( partialpartial x(x z + e^-y) - partialpartial y(y z + z) ) k :
nabla times F = (x - x) i - (y - y) j + (z - z) k = 0
Calculando os determinantes:
Simplificando:

Passo 5

Vimos que . Isso significa que o rotacional de é nulo em todo o espaço. Segundo o Teorema de Stokes, se o rotacional de for zero, então a integral de linha ao redor de qualquer curva fechada será zero.

Passo 6

Portanto, aplicando o Teorema de Stokes:
ointC F cdot d r = integral duplaS 0 cdot n , dS = 0

Resposta

ointC F cdot d r = 0

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