Seja
de classe
. Seja
um sólido e seja
a fronteira de
, com normal exterior
. Prove que
, onde
é a derivada direcional de
na direção do vetor unitário
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a integral da derivada direcional de uma função
na direção da normal externa
sobre a superfície
de um sólido
é igual à integral do Laplaciano de
sobre o volume
. Isso tá dentro do tema de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo o Teorema da Divergência. Vamos precisar usar conceitos como gradiente, divergente e o próprio Teorema da Divergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada termo significa. A derivada direcional
representa a taxa de variação de
na direção da normal
da superfície
. O Laplaciano
é uma combinação das segundas derivadas parciais de
e mede como
se comporta no interior do sólido.
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral da divergência de um campo vetorial
sobre o volume
é igual à integral de
ponto com a normal
sobre a superfície
:
Passo 4
Vamos escolher um campo vetorial
relacionado à nossa função
. Uma escolha natural é
, onde
é o gradiente de
. Com essa escolha, a divergência de
se torna:
Isso porque a divergência do gradiente de
é exatamente o Laplaciano de
.
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência com
, temos:
Observa que
é justamente a derivada direcional de
na direção de
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo de volta, chegamos à igualdade que queríamos provar:
Resposta
Prontinho! Mostramos que a integral da derivada direcional de
na direção da normal externa sobre a superfície
é igual à integral do Laplaciano de
sobre o volume
, conforme o enunciado.
Exercícios relacionados
Seja
de classe
, tal que
. Calcule
onde
é a esfera
, com
exterior a
.
Calcule
, onde
e
é definida por
e
.
Calcule
, sendo
e
a curva interseção das superfícies
e
, orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano
.
Calcule o fluxo do campo
, através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
, onde
é a normal unitária exterior a
.