Seja f: R^3 longrightarrow R de classe C^2. Seja W um sólido e seja S a fronteira de W, com normal exterior n. Prove que integral duplaS partial fpartial n d S=integral triplaW nabla^2 f d x d y d z, onde partial fpartial n é a derivada direcional de f na direção do vetor unitário n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a integral da derivada direcional de uma função na direção da normal externa sobre a superfície de um sólido é igual à integral do Laplaciano de sobre o volume . Isso tá dentro do tema de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo o Teorema da Divergência. Vamos precisar usar conceitos como gradiente, divergente e o próprio Teorema da Divergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada termo significa. A derivada direcional representa a taxa de variação de na direção da normal da superfície . O Laplaciano é uma combinação das segundas derivadas parciais de e mede como se comporta no interior do sólido.

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral da divergência de um campo vetorial integral triplaW nabla cdot F , dV = integral duplaS F cdot n , dS sobre o volume é igual à integral de ponto com a normal sobre a superfície :

Passo 4

Vamos escolher um campo vetorial nabla cdot F = nabla cdot (nabla f) = nabla^2 f relacionado à nossa função . Uma escolha natural é , onde é o gradiente de . Com essa escolha, a divergência de se torna:
Isso porque a divergência do gradiente de é exatamente o Laplaciano de .

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência com integral triplaW nabla^2 f , dV = integral duplaS nabla f cdot n , dS , temos:
Observa que é justamente a derivada direcional de na direção de , ou seja, .

Passo 6

Substituindo de volta, chegamos à igualdade que queríamos provar:
integral duplaS partial fpartial n , dS = integral triplaW nabla^2 f , dV

Resposta

Prontinho! Mostramos que a integral da derivada direcional de na direção da normal externa sobre a superfície é igual à integral do Laplaciano de sobre o volume , conforme o enunciado.

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