Seja de classe . Seja um sólido e seja a fronteira de , com normal exterior . Prove que , onde é a derivada direcional de na direção do vetor unitário .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a integral da derivada direcional de uma função na direção da normal externa sobre a superfície de um sólido é igual à integral do Laplaciano de sobre o volume . Isso tá dentro do tema de Cálculo Vetorial, mais especificamente envolvendo o Teorema da Divergência. Vamos precisar usar conceitos como gradiente, divergente e o próprio Teorema da Divergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada termo significa. A derivada direcional representa a taxa de variação de na direção da normal da superfície . O Laplaciano é uma combinação das segundas derivadas parciais de e mede como se comporta no interior do sólido.

Passo 3

Agora, vamos conectar isso com o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que a integral da divergência de um campo vetorial sobre o volume é igual à integral de ponto com a normal sobre a superfície :

Passo 4

Vamos escolher um campo vetorial relacionado à nossa função . Uma escolha natural é , onde é o gradiente de . Com essa escolha, a divergência de se torna:
Isso porque a divergência do gradiente de é exatamente o Laplaciano de .

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência com , temos:
Observa que é justamente a derivada direcional de na direção de , ou seja, .

Passo 6

Substituindo de volta, chegamos à igualdade que queríamos provar:

Resposta

Prontinho! Mostramos que a integral da derivada direcional de na direção da normal externa sobre a superfície é igual à integral do Laplaciano de sobre o volume , conforme o enunciado.

Exercícios relacionados

Seja de classe , tal que . Calcule onde é a esfera , com exterior a .
Calcule , onde e é definida por e .
Calcule , sendo e a curva interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .
Calcule o fluxo do campo , através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano , onde é a normal unitária exterior a .