Calcule o fluxo do campo F(x, y, z) = (x + e^(sen(z^3))) * i + cos^2(x z) * j + 4 z * k, sobre a esfera de raio a, x^2 + y^2 + z^2 = a^2, com orientação positiva(para fora).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial sobre a esfera de raio , definida por , com orientação positiva (para fora). Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que facilita bastante quando a superfície é fechada como essa esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por . Matematicamente, isso é:
Então, nosso objetivo agora é calcular .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de , que é a soma das derivadas parciais das componentes de em relação às suas respectivas variáveis:
Onde:

Passo 4

Calculando cada derivada:
ãá
Então, a divergência fica:

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos aplicar o Teorema da Divergência:
A fórmula da volume de uma esfera de raio é:

Passo 6

Multiplicando a divergência pela volume da esfera:

Resposta

O fluxo do campo sobre a esfera é .

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