Calcule o fluxo do campo
, sobre a esfera de raio
,
, com orientação positiva(para fora).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
sobre a esfera de raio
, definida por
, com orientação positiva (para fora). Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que facilita bastante quando a superfície é fechada como essa esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente, isso é:
Então, nosso objetivo agora é calcular
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
, que é a soma das derivadas parciais das componentes de
em relação às suas respectivas variáveis:
Onde:
Passo 4
Calculando cada derivada:
Então, a divergência fica:
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos aplicar o Teorema da Divergência:
A fórmula da volume de uma esfera de raio
é:
Passo 6
Multiplicando a divergência pela volume da esfera:
Resposta
O fluxo do campo
sobre a esfera é
.