Calcule o fluxo do campo de vetores através do sólido limitado pelas esferas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo de vetores através do sólido limitado pelas esferas e . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente do teorema da divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo de vetores através de uma superfície mede a quantidade de campo que “passa” por essa superfície. Para calcular, usamos o teorema da divergência, que nos diz que o fluxo total é igual à integral da divergência do campo pelo volume interno.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo . A divergência, denotada por , mede a taxa de expansão do campo em cada ponto. Para , temos:

Passo 4

Calculando cada derivada:
Fazendo o mesmo para e , a soma das três derivadas dá:

Passo 5

Agora, aplicando o teorema da divergência, o fluxo é dado por:
Onde é o volume entre as esferas de raio 3 ( ) e 4 ( ).

Passo 6

Em coordenadas esféricas, o volume integral fica mais fácil de calcular. A integral em coordenadas esféricas é:
Note que e .

Passo 7

Simplificando a integral:

Resposta

O fluxo do campo de vetores através do sólido é .

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