Calcule o fluxo do campo de vetores
através do sólido limitado pelas esferas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo de vetores
através do sólido limitado pelas esferas
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente do teorema da divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo de vetores através de uma superfície mede a quantidade de campo que “passa” por essa superfície. Para calcular, usamos o teorema da divergência, que nos diz que o fluxo total é igual à integral da divergência do campo pelo volume interno.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência, denotada por
, mede a taxa de expansão do campo em cada ponto. Para
, temos:
Passo 4
Calculando cada derivada:
Fazendo o mesmo para
e
, a soma das três derivadas dá:
Passo 5
Agora, aplicando o teorema da divergência, o fluxo
é dado por:
Onde
é o volume entre as esferas de raio 3 (
) e 4 (
).
Passo 6
Em coordenadas esféricas, o volume integral fica mais fácil de calcular. A integral em coordenadas esféricas é:
Note que
e
.
Passo 7
Simplificando a integral:
Resposta
O fluxo do campo de vetores
através do sólido é
.