A função f(x, y) = (x - 1)^4 + y^4 + 36(x - 1)y + 14 possui dois pontos de mínimo local e um ponto de sela. Se (c, d) é um ponto de mínimo local localizado no quarto quadrante e s, r é o ponto de sela, determine a soma d + r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis:
Nos diz que essa função tem dois pontos de mínimo local e um ponto de sela. Precisamos encontrar a soma das coordenadas , onde é um mínimo local no quarto quadrante e é o ponto de sela. Para resolver isso, vamos utilizar o cálculo de derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e, em seguida, determinar a natureza desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a e e as igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos igualar cada derivada a zero para encontrar os pontos onde a inclinação é zero (pontos críticos):
  1.  →   → 
  2.  → 

Passo 4

Substituímos da primeira equação na segunda:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 729 para eliminar o denominador:
Fatorando :
Então, temos duas possibilidades:
  1.  → 

Passo 5

Resolvendo :
Sabemos que , então:
Portanto:
  •  → 
  •  → 
Agora, temos três valores de : 1, 4 e -2.

Passo 6

Agora, encontramos os valores correspondentes de para cada :
  1. Para :
    Ponto crítico:
  2. Para :
    Ponto crítico:
  3. Para :
    Ponto cr��tico:

Passo 7

Agora, vamos determinar a natureza de cada ponto crítico usando o Teste da Segunda Derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 8

Vamos calcular para cada ponto crítico:
  1. Ponto :
    Como , este é um ponto de sela.
  2. Ponto :
    Além disso, , então este é um ponto de mínimo local.
  3. Ponto :
    Como , este também é um ponto de mínimo local.

Passo 9

O enunciado especifica que é um mínimo local no quarto quadrante. No quarto quadrante, e . Observando os pontos críticos:
  • está no quarto quadrante.
  • está no segundo quadrante.
Portanto, e o ponto de sela é .

Resposta

A soma é:

Exercícios relacionados