A função
possui dois pontos de mínimo local e um ponto de sela. Se
é um ponto de mínimo local localizado no quarto quadrante e
é o ponto de sela, determine a soma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função de duas variáveis:
Nos diz que essa função tem dois pontos de mínimo local e um ponto de sela. Precisamos encontrar a soma das coordenadas
, onde
é um mínimo local no quarto quadrante e
é o ponto de sela. Para resolver isso, vamos utilizar o cálculo de derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e, em seguida, determinar a natureza desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
e as igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos igualar cada derivada a zero para encontrar os pontos onde a inclinação é zero (pontos críticos):
-
→ → -
→
Passo 4
Substituímos
da primeira equação na segunda:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 729 para eliminar o denominador:
Fatorando
:
Então, temos duas possibilidades:
-
→ -
Passo 5
Resolvendo
:
Sabemos que
, então:
Portanto:
-
→ -
→
Agora, temos três valores de
: 1, 4 e -2.
Passo 6
Agora, encontramos os valores correspondentes de
para cada
:
-
Para
: Ponto crítico: -
Para
: Ponto crítico: -
Para
: Ponto cr��tico:
Passo 7
Agora, vamos determinar a natureza de cada ponto crítico usando o Teste da Segunda Derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 8
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
-
Ponto
: Como, este é um ponto de sela. -
Ponto
: Além disso,, então este é um ponto de mínimo local. -
Ponto
: Como, este também é um ponto de mínimo local.
Passo 9
O enunciado especifica que
é um mínimo local no quarto quadrante. No quarto quadrante,
e
. Observando os pontos críticos:
-
está no quarto quadrante. -
está no segundo quadrante.
Portanto,
e o ponto de sela é
.
Resposta
A soma
é: