Determine três números e não-negativos tais que e cujo produto é máximo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar três números não-negativos, chamados , e , que somados de forma específica dão 18: . Além disso, queremos que o produto desses três números, ou seja, , seja o maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições, que envolve um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que queremos maximizar. Nosso objetivo é encontrar o valor máximo do produto . Mas, temos uma condição que esses números precisam satisfazer: . Essa condição é chamada de restrição.

Passo 3

Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, uma técnica que nos ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a restrições. Nesse caso, queremos maximizar com a restrição .

Passo 4

Vamos montar a função de Lagrange, que combina nossa função objetivo com a restrição usando um multiplicador :
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , , e e igualá-las a zero:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo:
  • Da primeira equação: (1)
  • Da segunda equação: (2)
  • Da terceira equação: (3)
Comparando as equações (1) e (3):
Agora, usando a equação (2):
E da equação (3):
Substituindo e na restrição :
Sabemos que , então . Substituindo isso na equação acima:

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar e :
E de e :

Resposta

Os três números que satisfazem as condições são , e . O produto máximo é .

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