Determine três números
e
não-negativos tais que
e cujo produto
é máximo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar três números não-negativos, chamados
,
e
, que somados de forma específica dão 18:
. Além disso, queremos que o produto desses três números, ou seja,
, seja o maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições, que envolve um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que queremos maximizar. Nosso objetivo é encontrar o valor máximo do produto
. Mas, temos uma condição que esses números precisam satisfazer:
. Essa condição é chamada de restrição.
Passo 3
Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, uma técnica que nos ajuda a encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a restrições. Nesse caso, queremos maximizar
com a restrição
.
Passo 4
Vamos montar a função de Lagrange, que combina nossa função objetivo com a restrição usando um multiplicador
:
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
e igualá-las a zero:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo:
- Da primeira equação:
(1) - Da segunda equação:
(2) - Da terceira equação:
(3)
Comparando as equações (1) e (3):
Agora, usando a equação (2):
E da equação (3):
Substituindo
e
na restrição
:
Sabemos que
, então
. Substituindo isso na equação acima:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar
e
:
E de
e
:
Resposta
Os três números que satisfazem as condições são
,
e
. O produto máximo
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo do campo de vetores
através do sólido limitado pelas esferas
e
.
Mostrar que
e
dadas por
são duas parametrizações do paraboloide elíptico .
A função
possui dois pontos de mínimo local e um ponto de sela. Se
é um ponto de mínimo local localizado no quarto quadrante e
é o ponto de sela, determine a soma
.
A função
possui quatro pontos críticos. Classifique-os em mínimo local, um máximo local ou sela.