Calcule o fluxo do campo vetorial
(a) F(x, y, z) = (x * z, y * z, -z^2) para fora da superfície z^2 = 1 + x^2 + y^2, 2 <= z <= 3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial para fora da superfície definida por , no intervalo . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície. Então, vamos precisar conhecer o Teorema da Divergência e calcular a divergência do campo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede quanto do campo passa através de uma superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que:
Isso significa que podemos calcular o fluxo pela integral de volume da divergência de no volume limitado pela superfície .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Onde , e . Calculando cada derivada:
Então:

Passo 5

Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:

Passo 6

Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo do campo vetorial através da superfície dada é zero.

Resposta

O fluxo do campo vetorial para fora da superfície , no intervalo , é igual a zero.

Exercícios relacionados