Calcule o fluxo do campo vetorial
(a) para fora da superfície ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial para fora da superfície definida por , no intervalo . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície. Então, vamos precisar conhecer o Teorema da Divergência e calcular a divergência do campo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede quanto do campo passa através de uma superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que:
Isso significa que podemos calcular o fluxo pela integral de volume da divergência de no volume limitado pela superfície .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Onde , e . Calculando cada derivada:
Então:

Passo 5

Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:

Passo 6

Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo do campo vetorial através da superfície dada é zero.

Resposta

O fluxo do campo vetorial para fora da superfície , no intervalo , é igual a zero.

Exercícios relacionados

Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(a) cte .
Calcule o fluxo do campo vetorial
(b) , e é a parte do cone com com o vetor normal na direção .
Mostrar que e dadas por
ã
são duas parametrizações do paraboloide elíptico .
Calcule o fluxo do campo de vetores através do sólido limitado pelas esferas e .