Calcule o fluxo do campo vetorial
(a)
para fora da superfície
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
para fora da superfície definida por
, no intervalo
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície. Então, vamos precisar conhecer o Teorema da Divergência e calcular a divergência do campo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede quanto do campo passa através de uma superfície. Matematicamente, é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que:
Isso significa que podemos calcular o fluxo pela integral de volume da divergência de
no volume
limitado pela superfície
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
,
e
. Calculando cada derivada:
Então:
Passo 5
Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:
Passo 6
Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo do campo vetorial
através da superfície dada é zero.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
para fora da superfície
, no intervalo
, é igual a zero.
Exercícios relacionados
Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(a) cte
.
(a)
Calcule o fluxo do campo vetorial
(b) , e
é a parte do cone
com
com o vetor normal na direção
.
(b)
Mostrar que
e
dadas por
são duas parametrizações do paraboloide elíptico .
Calcule o fluxo do campo de vetores
através do sólido limitado pelas esferas
e
.