Mostrar que
e
dadas por
são duas parametrizações do paraboloide elíptico .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que as duas funções
e
são formas diferentes de representar o mesmo paraboloide elíptico. A matéria envolvida aqui é o estudo de superfícies e suas parametrizações na geometria analítica. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização de superfície e como comparar duas parametrizações para ver se elas descrevem a mesma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na definição de um paraboloide elíptico. É uma superfície tridimensional que pode ser descrita pela equação geral:
Isso significa que para cada ponto
no paraboloide, a relação acima deve ser verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira parametrização
:
Aqui,
e
são parâmetros que variam em
. Se substituirmos
e
na equação geral do paraboloide, temos:
Isso mostra que
realmente mapeia pontos do plano
para pontos no paraboloide elíptico.
Passo 4
Agora, vamos ver a segunda parametrização
:
Aqui,
é não negativo (
) e
está no intervalo
. Vamos identificar isso como coordenadas polares estendidas para o paraboloide. Se substituirmos
e
, temos:
Como
, então:
Isso confirma que
também mapeia os parâmetros para o paraboloide elíptico.
Resposta
Assim, mostramos que tanto
quanto
são parametrizações válidas do paraboloide elíptico
.