Mostrar que e dadas por
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são duas parametrizações do paraboloide elíptico .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que as duas funções e são formas diferentes de representar o mesmo paraboloide elíptico. A matéria envolvida aqui é o estudo de superfícies e suas parametrizações na geometria analítica. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização de superfície e como comparar duas parametrizações para ver se elas descrevem a mesma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na definição de um paraboloide elíptico. É uma superfície tridimensional que pode ser descrita pela equação geral:
Isso significa que para cada ponto no paraboloide, a relação acima deve ser verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira parametrização :
Aqui, e são parâmetros que variam em . Se substituirmos e na equação geral do paraboloide, temos:
Isso mostra que realmente mapeia pontos do plano para pontos no paraboloide elíptico.

Passo 4

Agora, vamos ver a segunda parametrização :
Aqui, é não negativo ( ) e está no intervalo . Vamos identificar isso como coordenadas polares estendidas para o paraboloide. Se substituirmos e , temos:
Como , então:
Isso confirma que também mapeia os parâmetros para o paraboloide elíptico.

Resposta

Assim, mostramos que tanto quanto são parametrizações válidas do paraboloide elíptico .

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Calcule o fluxo do campo vetorial
(a) para fora da superfície ;
Considere as seguintes superfícies em coordenadas esféricas e determine a sua correspondente equação em coordenadas cartesianas. Faça um gráfico aproximado.
(a) cte .
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