Mostrar que Phi1: R^2 mapsto R^3 e Phi2: R>= 0 times[0,2 pi) mapsto R^3 dadas por
& Phi1(u, v)=(u, v, u^2a^2+v^2b^2), com a, b não nulos & Phi2(u, v)=(a u cos (v), b u sin (v), u^2) ã
são duas parametrizações do paraboloide elíptico .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que as duas funções e são formas diferentes de representar o mesmo paraboloide elíptico. A matéria envolvida aqui é o estudo de superfícies e suas parametrizações na geometria analítica. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização de superfície e como comparar duas parametrizações para ver se elas descrevem a mesma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na definição de um paraboloide elíptico. É uma superfície tridimensional que pode ser descrita pela equação geral:
x^2a^2 + y^2b^2 = z
Isso significa que para cada ponto no paraboloide, a relação acima deve ser verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira parametrização Phi1(u, v)=(u, v, u^2a^2+v^2b^2) :
x^2a^2 + y^2b^2 = z
Aqui, e são parâmetros que variam em . Se substituirmos e na equação geral do paraboloide, temos:
Isso mostra que realmente mapeia pontos do plano para pontos no paraboloide elíptico.

Passo 4

Agora, vamos ver a segunda parametrização Phi2(u, v)=(a u cos (v), b u sin (v), u^2) :
x^2a^2 + y^2b^2 = u^2 cos^2(v) + u^2 sin^2(v) = u^2 (cos^2(v) + sin^2(v)) = u^2
Aqui, x^2a^2 + y^2b^2 = u^2 = z é não negativo ( ) e está no intervalo . Vamos identificar isso como coordenadas polares estendidas para o paraboloide. Se substituirmos e , temos:
Como , então:
Isso confirma que também mapeia os parâmetros para o paraboloide elíptico.

Resposta

Assim, mostramos que tanto quanto são parametrizações válidas do paraboloide elíptico .

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