Obtenha o plano tangente às superfícies nos pontos dados.
a) no ponto .
b) no ponto .
c) no ponto .
d) no ponto .

Passo 1

Vamos resolver cada item do exercício que pede para encontrar o plano tangente às superfícies nos pontos dados. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e a equação do plano tangente. Precisaremos calcular as derivadas parciais em relação a e para cada parametrização e, em seguida, usar essas derivadas para determinar o vetor normal ao plano.

Passo 2

a) no ponto

Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
No ponto :
Calculamos o produto vetorial para obter o vetor normal:
A equação do plano tangente é dada por:
Simplificando:

b) no ponto

Calculamos as derivadas parciais:
No ponto :
Produto vetorial:
Equação do plano tangente:
Simplificando:

c) no ponto

Calculamos as derivadas parciais:
No ponto :
Produto vetorial:
Equação do plano tangente:
Simplificando:

d) no ponto

Calculamos as derivadas parciais:
No ponto :
Produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor normal para .
Equação do plano tangente:
Simplificando:

Resposta

a) O plano tangente é .
b) O plano tangente é .
c) O plano tangente é .
d) O plano tangente é .

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Calcule o fluxo do campo vetorial através da curva , da direção da normal unitária cuja segunda componente é maior ou igual a zero.
Calcule o fluxo do campo vetorial através da curva , na direção da normal unitária exterior.
Obtenha uma parametrização para as superfícies dadas.
a) .
b) .
c) é a rotação em torno do eixo do conjunto .
d) é a rotação em torno do eixo do conjunto e .