Obtenha o plano tangente às superfícies nos pontos dados.
a) sigma(u, v) = (u, v, u^2 + v^2) no ponto sigma(1,1).
b) sigma(u, v) = (cos(u), sen(v), v) no ponto sigma(pi/2, 1).
c) sigma(u, v) = (2u + v, u - v, 3u + 2v) no ponto sigma(0,0).
d) sigma(u, v) = (u - v, u^2 + v^2, u - v) no ponto sigma(1,1).

Passo 1

Vamos resolver cada item do exercício que pede para encontrar o plano tangente às superfícies nos pontos dados. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais e a equação do plano tangente. Precisaremos calcular as derivadas parciais em relação a e para cada parametrização e, em seguida, usar essas derivadas para determinar o vetor normal ao plano.

Passo 2

a) no ponto

Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
No ponto :
Calculamos o produto vetorial para obter o vetor normal:
A equação do plano tangente é dada por:
Simplificando:

b) no ponto

Calculamos as derivadas parciais:
No ponto :
Produto vetorial:
Equação do plano tangente:
Simplificando:

c) no ponto

Calculamos as derivadas parciais:
No ponto :
Produto vetorial:
Equação do plano tangente:
Simplificando:

d) no ponto

Calculamos as derivadas parciais:
No ponto :
Produto vetorial:
Podemos simplificar o vetor normal para .
Equação do plano tangente:
Simplificando:

Resposta

a) O plano tangente é .
b) O plano tangente é .
c) O plano tangente é .
d) O plano tangente é .

Exercícios relacionados