Obtenha uma parametrização para a superfície descrita dada pelo elipsoide

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma parametrização para a superfície de um elipsoide dado pela equação:
Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com parametrizações de superfícies. Para isso, vamos precisar entender como expressar cada coordenada , e em função de dois parâmetros, geralmente chamados de e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os semi-eixos do elipsoide. A equação geral de um elipsoide é:
Comparando com a nossa equação, temos:
Então, os semi-eixos são , , e o elipsoide está deslocado 1 unidade na direção .

Passo 3

Agora, vamos utilizar coordenadas paramétricas esféricas para elipsoides, adaptando para o deslocamento no eixo . As fórmulas gerais para a parametrização de um elipsoide são:
onde varia de a e varia de a .

Passo 4

Substituindo os valores encontrados para , , e na parametrização, temos:
Essas equações descrevem cada ponto na superfície do elipsoide em termos dos parâmetros e .

Resposta

A parametrização para a superfície do elipsoide é dada por:
onde e .

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a) no ponto .
b) no ponto .
c) no ponto .
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