Calcule o fluxo do campo vetorial
através da curva
, da direção da normal unitária cuja segunda componente é maior ou igual a zero.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é calcular o fluxo de um campo vetorial específico através de uma curva definida por uma função trigonométrica. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especialmente conceitos como fluxo de campos vetoriais e teorema de Green. Vamos precisar entender como aplicar o teorema de Green para transformar o cálculo de fluxo em uma integral dupla mais simples de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma curva. Imagine que o campo vetorial representa um fluxo de água ou ar, e a curva é como uma barreira. O fluxo mede quanta água ou ar está passando através dessa barreira.
Matematicamente, o fluxo do campo vetorial F através de uma curva fechada
é dado por:
onde
é o vetor normal à curva e
é um elemento de arco da curva.
Passo 3
No nosso caso, a curva
para
representa um quarto de círculo unitário no primeiro quadrante. Como não é uma curva fechada, para aplicar o teorema de Green, precisamos fechar essa curva adicionando os segmentos dos eixos
e
.
Passo 4
O teorema de Green relaciona a integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para fluxos, a versão do teorema de Green que usaremos é:
onde
.
Passo 5
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 7
Substituindo essas derivadas na expressão do teorema de Green:
Passo 8
Agora, precisamos definir a região
sobre a qual vamos integrar. Como a curva é um quarto de círculo unitário no primeiro quadrante,
é o setor circular com
e
entre 0 e 1, e
.
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares onde:
Passo 9
Vamos mudar a expressão da integral para coordenadas polares:
Simplificando os termos:
Passo 10
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então,
Passo 11
Agora, vamos resolver a integral em
:
Usando a fórmula de integração de funções com potências ímpares de seno e cosseno:
Aplicando isso, encontramos que ambas as integrais resultam em valores iguais.
Passo 12
Calculando uma das integrais:
O mesmo vale para a segunda integral:
Passo 13
Somando as duas integrais:
Então, o fluxo fica:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da curva é
.
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através da curva
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, sobre a fronteira do retângulo
.
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Obtenha o plano tangente às superfícies nos pontos dados.
a) no ponto
.
b) no ponto
.
c) no ponto
.
d) no ponto
.
a)
b)
c)
d)