Calcule o fluxo do campo vetorial através da curva , da direção da normal unitária cuja segunda componente é maior ou igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada é calcular o fluxo de um campo vetorial específico através de uma curva definida por uma função trigonométrica. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, especialmente conceitos como fluxo de campos vetoriais e teorema de Green. Vamos precisar entender como aplicar o teorema de Green para transformar o cálculo de fluxo em uma integral dupla mais simples de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma curva. Imagine que o campo vetorial representa um fluxo de água ou ar, e a curva é como uma barreira. O fluxo mede quanta água ou ar está passando através dessa barreira.
Matematicamente, o fluxo do campo vetorial F através de uma curva fechada é dado por:
onde é o vetor normal à curva e é um elemento de arco da curva.

Passo 3

No nosso caso, a curva para representa um quarto de círculo unitário no primeiro quadrante. Como não é uma curva fechada, para aplicar o teorema de Green, precisamos fechar essa curva adicionando os segmentos dos eixos e .

Passo 4

O teorema de Green relaciona a integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Para fluxos, a versão do teorema de Green que usaremos é:
onde .

Passo 5

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão do teorema de Green:

Passo 8

Agora, precisamos definir a região sobre a qual vamos integrar. Como a curva é um quarto de círculo unitário no primeiro quadrante, é o setor circular com e entre 0 e 1, e .
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares onde:

Passo 9

Vamos mudar a expressão da integral para coordenadas polares:
Simplificando os termos:

Passo 10

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então,

Passo 11

Agora, vamos resolver a integral em :
Usando a fórmula de integração de funções com potências ímpares de seno e cosseno:
Aplicando isso, encontramos que ambas as integrais resultam em valores iguais.

Passo 12

Calculando uma das integrais:
O mesmo vale para a segunda integral:

Passo 13

Somando as duas integrais:
Então, o fluxo fica:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da curva é .

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Obtenha o plano tangente às superfícies nos pontos dados.
a) no ponto .
b) no ponto .
c) no ponto .
d) no ponto .