Calcule via definição e via teorema de Gauss o fluxo do campo vetorial
, sobre a fronteira do retângulo
.
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do retângulo definido pelos intervalos
. Para resolver isso, vamos utilizar duas abordagens: a definição de fluxo e o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Vamos precisar entender conceitos básicos de cálculo vetorial, como campos vetoriais, fluxo e divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o fluxo usando a definição. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada
é dado pela integral de linha:
onde
é o vetor normal à curva.
Passo 3
Nosso retângulo
tem quatro lados que vamos analisar separadamente:
- Lado inferior: de
a - Lado direito: de
a - Lado superior: de
a - Lado esquerdo: de
a
Vamos calcular o fluxo em cada um desses lados.
Passo 4
Lado inferior (
, de
a
):
- Vetor normal
: aponta para fora, ou seja, para baixo. Então, . - Campo vetorial
: . - Produto escalar
: . - Integral de fluxo nesse lado:
.
Passo 5
Lado direito (
, de
a
):
- Vetor normal
: aponta para fora, ou seja, para a direita. Então, . - Campo vetorial
: . - Produto escalar
: . - Integral de fluxo nesse lado:
.
Passo 6
Lado superior (
, de
a
):
- Vetor normal
: aponta para fora, ou seja, para cima. Então, . - Campo vetorial
: . - Produto escalar
: . - Integral de fluxo nesse lado:
.
Passo 7
Lado esquerdo (
, de
a
):
- Vetor normal
: aponta para fora, ou seja, para a esquerda. Então, . - Campo vetorial
: . - Produto escalar
: . - Integral de fluxo nesse lado:
.
Passo 8
Somando os fluxos de todos os lados:
Portanto, o fluxo total calculado pela definição é 18.
Passo 9
Agora, vamos calcular o fluxo usando o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência do campo vetorial sobre essa região:
Para o nosso campo
:
Então, a divergência é
.
Passo 10
Vamos calcular a integral dupla sobre o retângulo
:
Calculando a integral interna em
:
Agora, a integral externa em
:
Portanto, o fluxo calculado pelo Teorema de Gauss é 14.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do retângulo
é 18 utilizando a definição e 14 utilizando o Teorema de Gauss.
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Em cada item determine se a função dada é solução da EDO dada.
(v) .
(v)
Em cada item determine se a função dada é solução da EDO dada.
(iv)
(iv)
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da curva
, na direção da normal unitária exterior.
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da curva
, da direção da normal unitária cuja segunda componente é maior ou igual a zero.