Calcule via definição e via teorema de Gauss o fluxo do campo vetorial , sobre a fronteira do retângulo .

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular o fluxo do campo vetorial sobre a fronteira do retângulo definido pelos intervalos . Para resolver isso, vamos utilizar duas abordagens: a definição de fluxo e o Teorema de Gauss (também conhecido como Teorema da Divergência). Vamos precisar entender conceitos básicos de cálculo vetorial, como campos vetoriais, fluxo e divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o fluxo usando a definição. O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada é dado pela integral de linha:
onde é o vetor normal à curva.

Passo 3

Nosso retângulo tem quatro lados que vamos analisar separadamente:
  1. Lado inferior: de a
  2. Lado direito: de a
  3. Lado superior: de a
  4. Lado esquerdo: de a
Vamos calcular o fluxo em cada um desses lados.

Passo 4

Lado inferior ( , de a ):
  • Vetor normal : aponta para fora, ou seja, para baixo. Então, .
  • Campo vetorial : .
  • Produto escalar : .
  • Integral de fluxo nesse lado: .

Passo 5

Lado direito ( , de a ):
  • Vetor normal : aponta para fora, ou seja, para a direita. Então, .
  • Campo vetorial : .
  • Produto escalar : .
  • Integral de fluxo nesse lado: .

Passo 6

Lado superior ( , de a ):
  • Vetor normal : aponta para fora, ou seja, para cima. Então, .
  • Campo vetorial : .
  • Produto escalar : .
  • Integral de fluxo nesse lado: .

Passo 7

Lado esquerdo ( , de a ):
  • Vetor normal : aponta para fora, ou seja, para a esquerda. Então, .
  • Campo vetorial : .
  • Produto escalar : .
  • Integral de fluxo nesse lado: .

Passo 8

Somando os fluxos de todos os lados:
Portanto, o fluxo total calculado pela definição é 18.

Passo 9

Agora, vamos calcular o fluxo usando o Teorema de Gauss. Esse teorema relaciona o fluxo através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência do campo vetorial sobre essa região:
Para o nosso campo :
Então, a divergência é .

Passo 10

Vamos calcular a integral dupla sobre o retângulo :
Calculando a integral interna em :
Agora, a integral externa em :
Portanto, o fluxo calculado pelo Teorema de Gauss é 14.

Resposta

O fluxo do campo vetorial sobre a fronteira do retângulo é 18 utilizando a definição e 14 utilizando o Teorema de Gauss.

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