Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y) = (x / raiz(x^2 + y^2)) * i + (y / raiz(x^2 + y^2)) * j através da curva α(t) = cos(t) i + sen(t) j, t ∈ [0, 2π], na direção da normal unitária exterior.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o fluxo do campo vetorial através da curva para , usando a normal unitária exterior. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente fluxo de campos vetoriais e o Teorema de Green. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar as fórmulas de fluxo corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Essa é a parametrização de um círculo unitário no plano , com raio 1 e centrado na origem. O parâmetro varia de 0 a , completando uma volta inteira.

Passo 3

O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada pode ser calculado usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona o fluxo ao redor de uma curva com uma integral dupla sobre a região que ela delimita. A fórmula do Teorema de Green para fluxo é:
onde e é a região interior à curva .

Passo 4

Vamos identificar as componentes e do nosso campo vetorial :
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 5

Calculando :
Calculando :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:

Passo 7

Como a expressão resulta em zero, a integral dupla sobre a região será:
Isso significa que o fluxo do campo vetorial através da curva é zero.

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da curva na direção da normal unitária exterior é igual a zero.

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