Calcule o fluxo do campo vetorial
através da curva
, na direção da normal unitária exterior.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o fluxo do campo vetorial
através da curva para
, usando a normal unitária exterior. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente fluxo de campos vetoriais e o Teorema de Green. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar as fórmulas de fluxo corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Essa é a parametrização de um círculo unitário no plano
, com raio 1 e centrado na origem. O parâmetro
varia de 0 a
, completando uma volta inteira.
Passo 3
O fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada pode ser calculado usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona o fluxo ao redor de uma curva com uma integral dupla sobre a região que ela delimita. A fórmula do Teorema de Green para fluxo é:
onde
e
é a região interior à curva
.
Passo 4
Vamos identificar as componentes
e
do nosso campo vetorial
:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 7
Como a expressão
resulta em zero, a integral dupla sobre a região
será:
Isso significa que o fluxo do campo vetorial através da curva é zero.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da curva
na direção da normal unitária exterior é igual a zero.