Calcule o fluxo do campo vetorial F através da superfície S em cada um dos seguintes casos: F = x i + y j + z k, com S a fronteira do sólido no primeiro octante limitado pelos planos x=1, y=2 e 3x + 2y + z = 12.

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície S. Essa superfície S é a fronteira de um sólido que está no primeiro octante e é limitada pelos planos x = 1, y = 2 e . Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede o quanto o campo está “passando” através da superfície S. O Teorema da Divergência é ótimo porque ele transforma esse cálculo de fluxo em uma integral tripla sobre o volume V limitado por S, o que muitas vezes é mais fácil de resolver.

Passo 3

O Teorema da Divergência diz que:
Então, precisamos calcular a divergência de F, que é .

Passo 4

Calculando a divergência:
Então, a divergência é constante e igual a 3.

Passo 5

Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume V no primeiro octante, limitado por x = 1, y = 2 e . Vamos resolver essa equação para z para facilitar:
Então, z varia de 0 a . Já para x e y, como estamos no primeiro octante e limitados por x = 1 e y = 2, então x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a 2.

Passo 6

Montando a integral tripla para o fluxo:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Integrando em relação a z:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Integrando em relação a y:
Então, a expressão simplifica para:

Passo 9

Integrando em relação a x:
Multiplicando pelo 3:

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície S é 51.

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