Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
em cada um dos seguintes casos:
, com
a fronteira do sólido no primeiro octante limitado pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. Essa superfície
é a fronteira de um sólido que está no primeiro octante e é limitada pelos planos
,
e
. Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede o quanto o campo está “passando” através da superfície
. O Teorema da Divergência é ótimo porque ele transforma esse cálculo de fluxo em uma integral tripla sobre o volume
limitado por
, o que muitas vezes é mais fácil de resolver.
Passo 3
O Teorema da Divergência diz que:
Então, precisamos calcular a divergência de
, que é
.
Passo 4
Calculando a divergência:
Então, a divergência é constante e igual a 3.
Passo 5
Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume
no primeiro octante, limitado por
,
e
. Vamos resolver essa equação para
para facilitar:
Então,
varia de 0 a
. Já para
e
, como estamos no primeiro octante e limitados por
e
, então
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de 0 a 2.
Passo 6
Montando a integral tripla para o fluxo:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Integrando em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Então, a expressão simplifica para:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Multiplicando pelo 3:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é 51.