Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: r = 2u i + 3v j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização r = 2u i + 3v j. Basicamente, a primeira forma fundamental nos ajuda a entender como a superfície “se comporta” geometricamente, especialmente em termos de medidas como comprimento e ângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e geometria diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da superfície. A função vetorial é dada por:
Aqui, u e v são os parâmetros que variam, e i e j são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em relação a u e v. Para isso, derivamos r em relação a cada parâmetro:

Passo 4

A primeira forma fundamental é dada pela matriz composta pelos produtos internos desses vetores tangentes:
Onde:
Vamos calcular cada um:

Passo 5

Com os valores de E, F e G calculados, podemos escrever a primeira forma fundamental:

Resposta

A primeira forma fundamental da superfície é:

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