Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a primeira forma fundamental da superfície dada pela parametrização
. Basicamente, a primeira forma fundamental nos ajuda a entender como a superfície “se comporta” geometricamente, especialmente em termos de medidas como comprimento e ângulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e geometria diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da superfície. A função vetorial é dada por:
Aqui,
e
são os parâmetros que variam, e
e
são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície em relação a
e
. Para isso, derivamos
em relação a cada parâmetro:
Passo 4
A primeira forma fundamental é dada pela matriz composta pelos produtos internos desses vetores tangentes:
Onde:
Vamos calcular cada um:
Passo 5
Com os valores de
,
e
calculados, podemos escrever a primeira forma fundamental:
Resposta
A primeira forma fundamental da superfície é: