Calcule as seguintes integrais de linha:
.
é a cardioide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
é uma cardioide dada por
no intervalo
. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas, para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa integral de linha. Na expressão
, temos:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
onde
é a região delimitada pela curva
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Portanto, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 5
Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região
:
Como a cardioide é simétrica em relação ao eixo
, a região
também é simétrica. O
é uma função ímpar em relação ao eixo
, o que significa que as áreas positivas e negativas se cancelam.
Passo 6
Devido a essa simetria, a integral dupla de uma função ímpar como
sobre uma região simétrica resulta em zero: