Calcule as seguintes integrais de linha: ointC x^2 d x+x y d y. C é a cardioide r=1+cos theta, 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde é uma cardioide dada por no intervalo . Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas, para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M = x^2 e N = x y e na nossa integral de linha. Na expressão , temos:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointC M dx + N dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA
onde é a região delimitada pela curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partial (x y)partial x = y
partial Mpartial y = partial (x^2)partial y = 0
Portanto, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Npartial x - partial Mpartial y = y - 0 = y

Passo 5

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região integral duplaD y , dA :
Como a cardioide é simétrica em relação ao eixo , a região também é simétrica. O é uma função ímpar em relação ao eixo , o que significa que as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 6

Devido a essa simetria, a integral dupla de uma função ímpar como integral duplaD y , dA = 0 sobre uma região simétrica resulta em zero:

Resposta

0

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