Calcule as seguintes integrais de linha: $\oint_{C} x^{2} d x+x y d y$. $C$ é a cardioide $r=1+\cos \theta, 0 \leq \theta \leq 2 \pi$.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde é uma cardioide dada por no intervalo . Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas, para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa integral de linha. Na expressão , temos:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
onde é a região delimitada pela curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Portanto, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 5

Agora, a integral de linha se transforma em uma integral dupla sobre a região :
Como a cardioide é simétrica em relação ao eixo , a região também é simétrica. O é uma função ímpar em relação ao eixo , o que significa que as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 6

Devido a essa simetria, a integral dupla de uma função ímpar como sobre uma região simétrica resulta em zero:

Resposta

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<html><head></head><body><div>Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“23.131ex” height=“2.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 10223.8 895”><title>r = cos(u) i + sen(u) j + v k</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42B” d=“M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(751.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” 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103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(7558.3,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(8131.6,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 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<html><head></head><body><div>Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“10.762ex” height=“2.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 4757 895”><title>r = u * i + v * j</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D42B” d=“M405 293T374 293T324 312T305 361Q305 378 312 394Q315 397 315 399Q305 399 294 394T266 375T238 329T222 249Q221 241 221 149V62H308V0H298Q280 3 161 3Q47 3 38 0H29V62H98V210V303Q98 353 96 363T83 376Q69 380 42 380H29V442H32L118 446Q204 450 205 450H210V414L211 378Q247 449 315 449H321Q384 449 413 422T442 360Q442 332 424 313Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(751.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1807.6,0)”><path data-c=“1D462” d=“M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(2379.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D422” d=“M72 610Q72 649 98 672T159 695Q193 693 217 670T241 610Q241 572 217 549T157 525Q120 525 96 548T72 610ZM46 442L136 446L226 450H232V62H294V0H286Q271 3 171 3Q67 3 49 0H40V62H109V209Q109 358 108 362Q103 380 55 380H43V442H46Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2920.8,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(3921,0)”><path data-c=“1D463” d=“M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(4406,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
</body></html>
Mostre que se é uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em , então
com o vetor normal unitário exterior à fornteira .
<html><head></head><body><div>Calcule o fluxo do campo vetorial <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.638ex” height=“1.538ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -680 724 680”><title>F</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D405” d=“M425 0L228 3Q63 3 51 0H39V62H147V618H39V680H644V676Q647 670 659 552T675 428V424H613Q613 433 605 477Q599 511 589 535T562 574T530 599T488 612T441 617T387 618H368H304V371H333Q389 373 411 390T437 468V488H499V192H437V212Q436 244 430 263T408 292T378 305T333 309H304V62H439V0H425Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> através da superfície <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.05ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.459ex” height=“1.645ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 645 727”><title>S</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D446” d=“M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> em cada um dos seguintes casos: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“16.53ex” height=“2.036ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 7306.4 900”><title>F = x i + y j + z k</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D405” d=“M425 0L228 3Q63 3 51 0H39V62H147V618H39V680H644V676Q647 670 659 552T675 428V424H613Q613 433 605 477Q599 511 589 535T562 574T530 599T488 612T441 617T387 618H368H304V371H333Q389 373 411 390T437 468V488H499V192H437V212Q436 244 430 263T408 292T378 305T333 309H304V62H439V0H425Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1001.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(2057.6,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(2629.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D422” d=“M72 610Q72 649 98 672T159 695Q193 693 217 670T241 610Q241 572 217 549T157 525Q120 525 96 548T72 610ZM46 442L136 446L226 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