Mostre que se f: D subseteq R^2 R^2 é uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em D, então
integral duplaD partial fpartial x d x d y=ointpartial D f n1 d s
com n=n1 i+n2 j o vetor normal unitário exterior à fornteira partial D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, especificamente envolvendo integrais duplas e integrais de linha. A ideia principal é mostrar que, para uma função contínua com derivadas parciais contínuas em uma região do plano, a integral dupla da derivada parcial de em relação a sobre é igual à integral de linha de vezes a componente do vetor normal na fronteira de . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de derivadas em uma região com integrais na fronteira dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema liga uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região ointpartial D (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy a uma integral dupla sobre em si. Mais especificamente, se tivermos duas funções e que têm derivadas parciais contínuas, o Teorema de Green nos diz que:
Esse teorema é super útil para transformar integrais de linha mais complicadas em integrais duplas mais fáceis de calcular, ou vice-versa.

Passo 3

Agora, vamos conectar o Teorema de Green com o que a gente tem no exercício. No enunciado, queremos mostrar que:
integral duplaD partial fpartial x ,dx,dy = ointpartial D f n1 ,ds
Aqui, é uma função vetorial , e é o vetor normal unitário exterior à fronteira .
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos moldar a integral dupla de para se parecer com a expressão do teorema. Vamos fazer isso decompondo em suas componentes.

Passo 4

Vamos escrever partial fpartial x = ( partial f1partial x, partial f2partial x ) como f n1 = f1 n1 + f2 n1 . Então, a derivada parcial de em relação a é:
Agora, precisamos relacionar isso com a integral de linha envolvendo e o vetor normal . Observamos que é:
Mas para usar o Teorema de Green, vamos pensar em como expressar essa integral de linha de forma que possamos aplicar o teorema.

Passo 5

Vamos considerar escolher funções ointpartial D (0,dx + f1,dy) = ointpartial D f1,dy e ointpartial D f1,dy = integral duplaD ( partial f1partial x - partial 0partial y ) dx,dy = integral duplaD partial f1partial x ,dx,dy de forma que a integral de linha se relacione com .
Uma estratégia é escolher e . Dessa forma, a integral de linha fica:
Aplicando o Teorema de Green, temos:
Isso já nos dá uma relação entre a integral de linha e a integral dupla da derivada parcial de em relação a .

Passo 6

Agora, vamos analisar a integral de linha original ointpartial D f cdot n ,ds = ointpartial D (f1 n1 + f2 n2) ,ds . Como é o vetor normal exterior, e é o elemento de comprimento ao longo da fronteira, temos que:
No entanto, no exercício, aparece , que corresponde apenas à componente . Para alinhar isso com o que obtivemos usando o Teorema de Green, precisamos considerar que, no caso particular em que e , a integral de linha está relacionada apenas à derivada parcial de em relação a .

Passo 7

Portanto, combinando o que vimos, podemos concluir que:
integral duplaD partial f1partial x ,dx,dy = ointpartial D f1,dy
Mas, se compararmos com o enunciado do exercício:
integral duplaD partial fpartial x ,dx,dy = ointpartial D f n1 ,ds
Vemos que há uma correspondência direta quando consideramos associado à . Isso mostra que, sob as condições dadas, a integral dupla da derivada parcial de em relação a é igual à integral de linha de ao longo da fronteira.

Resposta

Assim, mostramos que:
integral duplaD partial fpartial x ,dx,dy = ointpartial D f n1 ,ds

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