Mostre que se
é uma função contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em
, então
com
o vetor normal unitário exterior à fornteira
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, especificamente envolvendo integrais duplas e integrais de linha. A ideia principal é mostrar que, para uma função contínua com derivadas parciais contínuas em uma região
do plano, a integral dupla da derivada parcial de
em relação a
sobre
é igual à integral de linha de
vezes a componente
do vetor normal na fronteira de
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de derivadas em uma região com integrais na fronteira dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema liga uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região
a uma integral dupla sobre
em si. Mais especificamente, se tivermos duas funções
e
que têm derivadas parciais contínuas, o Teorema de Green nos diz que:
Esse teorema é super útil para transformar integrais de linha mais complicadas em integrais duplas mais fáceis de calcular, ou vice-versa.
Passo 3
Agora, vamos conectar o Teorema de Green com o que a gente tem no exercício. No enunciado, queremos mostrar que:
Aqui,
é uma função vetorial
, e
é o vetor normal unitário exterior à fronteira
.
Para aplicar o Teorema de Green, precisamos moldar a integral dupla de
para se parecer com a expressão do teorema. Vamos fazer isso decompondo
em suas componentes.
Passo 4
Vamos escrever
como
. Então, a derivada parcial de
em relação a
é:
Agora, precisamos relacionar isso com a integral de linha envolvendo
e o vetor normal
. Observamos que
é:
Mas para usar o Teorema de Green, vamos pensar em como expressar essa integral de linha de forma que possamos aplicar o teorema.
Passo 5
Vamos considerar escolher funções
e
de forma que a integral de linha
se relacione com
.
Uma estratégia é escolher
e
. Dessa forma, a integral de linha fica:
Aplicando o Teorema de Green, temos:
Isso já nos dá uma relação entre a integral de linha e a integral dupla da derivada parcial de
em relação a
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a integral de linha original
. Como
é o vetor normal exterior, e
é o elemento de comprimento ao longo da fronteira, temos que:
No entanto, no exercício, aparece
, que corresponde apenas à componente
. Para alinhar isso com o que obtivemos usando o Teorema de Green, precisamos considerar que, no caso particular em que
e
, a integral de linha
está relacionada apenas à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 7
Portanto, combinando o que vimos, podemos concluir que:
Mas, se compararmos com o enunciado do exercício:
Vemos que há uma correspondência direta quando consideramos
associado à
. Isso mostra que, sob as condições dadas, a integral dupla da derivada parcial de
em relação a
é igual à integral de linha de
ao longo da fronteira.
Resposta
Assim, mostramos que: