Calcule a integral
ointC F bul<=t d r
com C=partial S, em cada um dos seguintes casos: F=2 y i+z j+3 k, com S a parte do paraboloide z=4-x^2-y^2 no interior ao cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral de linha
ointC F cdot d r
onde é a fronteira da superfície . A função vetorial dada é , e a superfície é a parte do paraboloide dentro do cilindro . Vamos usar o Teorema de Stokes para facilitar esse cálculo.

Passo 2

O Teorema de Stokes nos relaciona a integral de linha ao redor de uma curva ointC F cdot d r = integral duplaS (nabla times F) cdot n, dS com a integral de superfície sobre . A fórmula é:
Aqui, é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o rotacional de nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z 2y & z & 3 . O rotacional nabla times F = ( partial 3partial y - partial zpartial z ) i - ( partial 3partial x - partial 2ypartial z ) j + ( partial zpartial x - partial 2ypartial y ) k é dado por:
nabla times F = (0 - 1)i - (0 - 0)j + (0 - 2)k = -i - 2k
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o vetor normal x = r cos theta y = r sin theta z = 4 - r^2 à superfície n = nabla z = ( -2x, -2y, 1 ) . A superfície é parte do paraboloide n = (-2r cos theta, -2r sin theta, 1) . Podemos parametrizar em coordenadas polares para facilitar:
O vetor normal pode ser obtido a partir do gradiente da função que define :
Substituindo e :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto (nabla times F) cdot n = (-1)cdot(-2r cos theta) + (0)cdot(-2r sin theta) + (-2)cdot 1 = 2r cos theta - 2 :

Passo 6

A integral de superfície fica então:
integral duplaS (2r cos theta - 2) cdot r, dr, dtheta
Aqui, usamos em coordenadas polares.

Passo 7

Os limites de integração para integral0^2pi integral0^1 (2r cos theta - 2) cdot r, dr, dtheta são de 0 a 1 (já que a superf��cie está dentro do cilindro integral0^2pi integral0^1 (2r^2 cos theta - 2r) , dr, dtheta ), e para , de 0 a . Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 8

Vamos integrar em relação a integral0^1 2r^2 cos theta , dr = 2 cos theta [ r^33 ]0^1 = 23 cos theta primeiro:
integral0^1 -2r , dr = -2 [ r^22 ]0^1 = -1
e

Passo 9

Agora, a integral fica:
integral0^2pi ( 23 cos theta - 1 ) dtheta
Independente do que esteja dentro da integral, vamos integrar termo a termo:
23 integral0^2pi cos theta , dtheta - integral0^2pi 1 , dtheta

Passo 10

Calculando cada parte:
23 [ sin theta ]0^2pi = 23 (0 - 0) = 0
e
[ theta ]0^2pi = 2pi - 0 = 2pi
Então, a integral total é:
0 - 2pi = -2pi

Resposta

A integral é igual a .

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