com , em cada um dos seguintes casos: , com a parte do paraboloide no interior ao cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha passo a passo! Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular a integral de linha
onde é a fronteira da superfície . A função vetorial dada é , e a superfície é a parte do paraboloide dentro do cilindro . Vamos usar o Teorema de Stokes para facilitar esse cálculo.
Passo 2
O Teorema de Stokes nos relaciona a integral de linha ao redor de uma curva com a integral de superfície sobre . A fórmula é:
Aqui, é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o vetor normal x = r cos theta y = r sin theta z = 4 - r^2 à superfície n = nabla z = ( -2x, -2y, 1 ) . A superfície é parte do paraboloide n = (-2r cos theta, -2r sin theta, 1) . Podemos parametrizar em coordenadas polares para facilitar:
O vetor normal pode ser obtido a partir do gradiente da função que define :
Substituindo e :
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto (nabla times F) cdot n = (-1)cdot(-2r cos theta) + (0)cdot(-2r sin theta) + (-2)cdot 1 = 2r cos theta - 2 :
Passo 6
A integral de superfície fica então:
integral duplaS (2r cos theta - 2) cdot r, dr, dtheta
Aqui, usamos em coordenadas polares.
Passo 7
Os limites de integração para integral0^2pi integral0^1 (2r cos theta - 2) cdot r, dr, dtheta são de 0 a 1 (já que a superf��cie está dentro do cilindro integral0^2pi integral0^1 (2r^2 cos theta - 2r) , dr, dtheta ), e para , de 0 a . Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 8
Vamos integrar em relação a integral0^1 2r^2 cos theta , dr = 2 cos theta [ r^33 ]0^1 = 23 cos theta primeiro:
integral0^1 -2r , dr = -2 [ r^22 ]0^1 = -1
e
Passo 9
Agora, a integral fica:
integral0^2pi ( 23 cos theta - 1 ) dtheta
Independente do que esteja dentro da integral, vamos integrar termo a termo: