Calcule as seguintes integrais de linha: é o círculo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha no círculo definido por . Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com Integrais de Linha. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral de linha. Temos:
A integral que precisamos calcular é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde é a região dentro do círculo .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região que é o círculo . Para facilitar, vamos fazer uma mudança de coordenadas para centralizar o círculo na origem. Seja , então . A equação do círculo fica:

Passo 7

A integral agora em termos de e fica:
Vamos calcular essas duas integrais separadamente.

Passo 8

Primeira parte:
Note que a função é ímpar em relação a , e a região de integração é simétrica em relação ao eixo . Então, essa integral é zero.

Passo 9

Segunda parte:
Áí

Passo 10

Somando as duas partes:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Calcule as seguintes integrais de linha: é qualquer curva regular fechada simples, que não envolve a origem.
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies: .
Seja um campo vetorial em . Calcule as integrais
com a esfera e é a esfera sólida . Compare os valores.
Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície em cada um dos seguintes casos: , com a porção do cone interna ao cilindro .