Calcule as seguintes integrais de linha: ointC 2 d x+(x^2-y tan y) d y, C é o círculo (x-1)^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha no círculo definido por (x-1)^2+y^2=1. Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com Integrais de Linha. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral de linha. Temos:
P(x, y) = 2 Q(x, y) = x^2 - y tan y
A integral que precisamos calcular é:
ointC P , dx + Q , dy

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde D é a região dentro do círculo C.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 - y tan y) = 2x partial Ppartial y = partialpartial y (2) = 0

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 2x - 0 ) dx , dy = integral duplaD 2x , dx , dy

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral dupla integral duplaD 2x , dx , dy sobre a região D que é o círculo (x-1)^2+y^2=1. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de coordenadas para centralizar o círculo na origem. Seja u = x - 1, então x = u + 1. A equação do círculo fica:
u^2 + y^2 = 1

Passo 7

A integral agora em termos de u e y fica:
integral duplau^2+y^2 <= 1 2(u + 1) , du , dy = 2 integral duplau^2+y^2 <= 1 u , du , dy + 2 integral duplau^2+y^2 <= 1 1 , du , dy
Vamos calcular essas duas integrais separadamente.

Passo 8

Primeira parte:
2 integral duplau^2+y^2 <= 1 u , du , dy
Note que a função u é ímpar em relação a u, e a região de integração é simétrica em relação ao eixo u. Então, essa integral é zero.

Passo 9

Segunda parte:
2 integral duplau^2+y^2 <= 1 1 , du , dy = 2 times Área do círculo de raio 1 = 2 times pi (1)^2 = 2pi Áí

Passo 10

Somando as duas partes:
0 + 2pi = 2pi

Resposta

A integral de linha é igual a 2pi.

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