Calcule as seguintes integrais de linha:
é o círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha no círculo definido por
. Estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com Integrais de Linha. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral de linha. Temos:
A integral que precisamos calcular é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Onde
é a região dentro do círculo
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral dupla
sobre a região
que é o círculo
. Para facilitar, vamos fazer uma mudança de coordenadas para centralizar o círculo na origem. Seja
, então
. A equação do círculo fica:
Passo 7
A integral agora em termos de
e
fica:
Vamos calcular essas duas integrais separadamente.
Passo 8
Primeira parte:
Note que a função
é ímpar em relação a
, e a região de integração é simétrica em relação ao eixo
. Então, essa integral é zero.
Passo 9
Segunda parte:
Passo 10
Somando as duas partes:
Resposta
A integral de linha é igual a
.