Calcule:
o fluxo do campo vetorial
através da superfície exterior do sólido
.
o fluxo do campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial
através da superfície externa de um sólido definido por
e
. Basicamente, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema da Divergência, que ajuda a transformar o cálculo de fluxo através de uma superfície em uma integral sobre o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de
através de uma superfície fecha toda a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Para facilitar, usamos o Teorema da Divergência, que diz:
Isso significa que, em vez de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência de
e integrar sobre o volume
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Substituindo os componentes de
:
Então,
Passo 4
Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:
Passo 5
Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de
através da superfície externa do sólido é zero.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície externa do sólido é
.
Exercícios relacionados
Calcule:
, onde
é a superfície exterior do cone
delimitado pelos planos
e
Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
.
Calcule:
, onde
é a superfície plana delimitada pelo
triângulo de vértices e
e a normal afasta-se da origem;
triângulo de vértices
Calcule a integral tripla
(b) , utilizando coordenadas
(b)