Calcule:
o fluxo do campo vetorial F = (0, 2x, 2y) através da superfície exterior do sólido x^2 + y^2 <= 16, 0 <= z <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o fluxo de um campo vetorial através da superfície externa de um sólido definido por e . Basicamente, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema da Divergência, que ajuda a transformar o cálculo de fluxo através de uma superfície em uma integral sobre o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo. O fluxo de F através de uma superfície fecha toda a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Para facilitar, usamos o Teorema da Divergência, que diz:
Isso significa que, em vez de calcular o fluxo diretamente pela superfície, podemos calcular a divergência de F e integrar sobre o volume V.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
Substituindo os componentes de F:
Então,

Passo 4

Com a divergência sendo zero, a integral de volume também será zero:

Passo 5

Portanto, pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F através da superfície externa do sólido é zero.

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície externa do sólido é 0.

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