Calcule a integral tripla
(b) integral-infty^infty integral-infty^infty integral-infty^infty raizx^2+y^2+z^2 e^-(x^2+y^2+z^2) d x d y d z, utilizando coordenadas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral tripla . Isso envolve cálculo em coordenadas tridimensionais e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam a integração de funções que dependem da distância ao origem, como essa aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a integral de coordenadas cartesianas para esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
E o elemento de volume muda para:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Isso facilita porque .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral0^2pi integral0^pi integral0^infty rho cdot e^-rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando, fica:
integral0^2pi dtheta integral0^pi sinphi , dphi integral0^infty rho^3 e^-rho^2 , drho

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando por integral0^2pi dtheta = 2pi :
integral0^pi sinphi , dphi = 2
Depois, a integral em integral0^infty rho^3 e^-rho^2 , drho :
12 integral0^infty u e^-u , du
Agora, a integral mais complicada em :
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . A integral vira:
Essa é a definição da função gama, onde para inteiro. Aqui, .

Passo 5

Então, a integral em 12 times 1 = 12 é:
2pi times 2 times 12 = 2pi
Agora, juntando tudo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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