Calcule a integral tripla
(b)
, utilizando coordenadas
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral tripla
. Isso envolve cálculo em coordenadas tridimensionais e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam a integração de funções que dependem da distância ao origem, como essa aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a integral de coordenadas cartesianas para esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume muda para:
Isso facilita porque
.
Passo 3
Substituindo na integral original, temos:
Simplificando, fica:
Passo 4
Vamos resolver cada integral separadamente. Começando por
:
Depois, a integral em
:
Agora, a integral mais complicada em
:
Fazendo uma substituição
, então
, ou seja,
. A integral vira:
Essa é a definição da função gama, onde
para inteiro. Aqui,
.
Passo 5
Então, a integral em
é:
Agora, juntando tudo:
Resposta
O valor da integral tripla é
.