Calcule a integral tripla
(b) , utilizando coordenadas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral tripla . Isso envolve cálculo em coordenadas tridimensionais e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas esféricas, que facilitam a integração de funções que dependem da distância ao origem, como essa aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a integral de coordenadas cartesianas para esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o elemento de volume muda para:
Isso facilita porque .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
Simplificando, fica:

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando por :
Depois, a integral em :
Agora, a integral mais complicada em :
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . A integral vira:
Essa é a definição da função gama, onde para inteiro. Aqui, .

Passo 5

Então, a integral em é:
Agora, juntando tudo:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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Calcule:
, onde é a superfície plana delimitada pelo
triângulo de vértices e e a normal afasta-se da origem;
Calcule:
o fluxo do campo vetorial através da superfície exterior do sólido .
Nos Problemas abaixo, a função indicada é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução .
(e)
Nos Problemas abaixo, a função indicada é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução .
(h)