Calcule:
, onde é a superfície plana delimitada pelo
triângulo de vértices e e a normal afasta-se da origem;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular uma integral de superfície. Especificamente, temos a integral dupla de sobre uma superfície que é um triângulo com vértices em , e . A normal da superfície se afasta da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação do plano onde está o triângulo. Sabemos que três pontos não colineares definem um plano. Vamos usar os pontos , e para encontrar a equação do plano.

Passo 3

Para achar a equação do plano, podemos usar a forma geral . Sabendo que o plano passa pelos três pontos mencionados, substituímos essas coordenadas na equação:
Para :
Para :
Com e , temos
Para :
Agora igualamos . Como , podemos escolher para facilitar os cálculos:
Então, , , e . Agora, ainda falta encontrar .
De , temos
Portanto, a equação do plano é:
ou simplificando

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície . Vamos resolver a equação do plano para uma das variáveis em termos das outras duas. Por exemplo, podemos resolver para :
Assim, podemos usar e como parâmetros, com expresso em termos deles.

Passo 5

Com a parametrização , os limites de e vão depender do triângulo. Observando os vértices:
  • Quando , varia de 0 a 3
  • Quando ,
Portanto, para cada de 0 a 3, varia de 0 a

Passo 6

Agora, vamos calcular os elementos diferenciais , e .
Sabemos que:
Portanto:
  • (mas )
  • permanece

Passo 7

Substituindo na integral original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão:
Simplificando dentro da integral:

Passo 9

Agora, estabelecemos os limites de integração:
  • varia de 0 a 3
  • Para cada , varia de 0 a
Então, a integral fica:

Passo 10

Primeiro, integramos em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 11

Agora, integramos isso em relação a de 0 a 3:
Substituindo os limites:

Resposta

A integral calculada é igual a 0.

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Calcule:
o fluxo do campo vetorial através da superfície exterior do sólido .
Calcule:
, onde é a superfície exterior do cone delimitado pelos planos e
Calcule a integral tripla
(b) , utilizando coordenadas
Nos Problemas abaixo, a função indicada é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução .
(e)