Calcule:
, onde
é a superfície plana delimitada pelo
triângulo de vértices
e
e a normal afasta-se da origem;
triângulo de vértices
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular uma integral de superfície. Especificamente, temos a integral dupla de
sobre uma superfície
que é um triângulo com vértices em
,
e
. A normal da superfície se afasta da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação do plano onde está o triângulo. Sabemos que três pontos não colineares definem um plano. Vamos usar os pontos
,
e
para encontrar a equação do plano.
Passo 3
Para achar a equação do plano, podemos usar a forma geral
. Sabendo que o plano passa pelos três pontos mencionados, substituímos essas coordenadas na equação:
Para
:
→
→
Para
:
→
→
Com
e
, temos
→
→
Para
:
→
→
Agora igualamos
. Como
, podemos escolher
para facilitar os cálculos:
Então,
,
, e
. Agora, ainda falta encontrar
.
De
, temos
→
Portanto, a equação do plano é:
ou simplificando
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície
. Vamos resolver a equação do plano para uma das variáveis em termos das outras duas. Por exemplo, podemos resolver para
:
Assim, podemos usar
e
como parâmetros, com
expresso em termos deles.
Passo 5
Com a parametrização
, os limites de
e
vão depender do triângulo. Observando os vértices:
- Quando
, → varia de 0 a 3 - Quando
, → →
Portanto, para cada
de 0 a 3,
varia de 0 a
Passo 6
Agora, vamos calcular os elementos diferenciais
,
e
.
Sabemos que:
Portanto:
-
-
(mas ) -
permanece
Passo 7
Substituindo na integral original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão:
Simplificando dentro da integral:
Passo 9
Agora, estabelecemos os limites de integração:
-
varia de 0 a 3 - Para cada
, varia de 0 a
Então, a integral fica:
Passo 10
Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 11
Agora, integramos isso em relação a
de 0 a 3:
Substituindo os limites:
Resposta
A integral calculada é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule:
o fluxo do campo vetorial através da superfície exterior do sólido
.
o fluxo do campo vetorial
Calcule:
, onde
é a superfície exterior do cone
delimitado pelos planos
e
Calcule a integral tripla
(b) , utilizando coordenadas
(b)
Nos Problemas abaixo, a função indicada
é uma solução da equação diferencial dada. Use redução de ordem, conforme foi ensinado, para encontrar uma segunda solução
.
(e)
(e)