Calcule:
integral duplaS x d y d z+2 y d z d x+3 z d x d y, onde S é a superfície plana delimitada pelo
triângulo de vértices (3,0,0),(0,2,0) e (0,0,3) e a normal afasta-se da origem;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular uma integral de superfície. Especificamente, temos a integral dupla de sobre uma superfície que é um triângulo com vértices em , e . A normal da superfície se afasta da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação do plano onde está o triângulo. Sabemos que três pontos não colineares definem um plano. Vamos usar os pontos , e para encontrar a equação do plano.

Passo 3

Para achar a equação do plano, podemos usar a forma geral . Sabendo que o plano passa pelos três pontos mencionados, substituímos essas coordenadas na equação:
Para :
Para :
Com e , temos
Para :
Agora igualamos . Como , podemos escolher para facilitar os cálculos:
Então, , , e . Agora, ainda falta encontrar .
De , temos
Portanto, a equação do plano é:
ou simplificando

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície . Vamos resolver a equação do plano para uma das variáveis em termos das outras duas. Por exemplo, podemos resolver para :
Assim, podemos usar e como parâmetros, com expresso em termos deles.

Passo 5

Com a parametrização , os limites de e vão depender do triângulo. Observando os vértices:
  • Quando , varia de 0 a 3
  • Quando ,
Portanto, para cada de 0 a 3, varia de 0 a

Passo 6

Agora, vamos calcular os elementos diferenciais , e .
Sabemos que:
Portanto:
  • (mas )
  • permanece

Passo 7

Substituindo na integral original:
integral duplaS x , dy , dz + 2y , dz , dx + 3z , dx , dy = integral duplaD x (-dy , dx) + 2y (-32dx , dy) + 3z , dx , dy
Simplificando:
= integral duplaD (-x) , dy , dx - 3y , dx , dy + 3z , dx , dy

Passo 8

Agora, substituímos = integral duplaD (-x - 3y + 3(3 - x - 32y)) , dx , dy na expressão:
= integral duplaD (-x - 3y + 9 - 3x - 92y) , dx , dy
Simplificando dentro da integral:
= integral duplaD (9 - 4x - 152y) , dx , dy

Passo 9

Agora, estabelecemos os limites de integração:
  • integral0^3 integral0^23(3 - x) (9 - 4x - 152y) , dy , dx varia de 0 a 3
  • Para cada , varia de 0 a
Então, a integral fica:

Passo 10

Primeiro, integramos em relação a integral0^23(3 - x) (9 - 4x - 152y) , dy = [ 9y - 4x y - 154y^2 ]0^23(3 - x) :
= 9 cdot 23(3 - x) - 4x cdot 23(3 - x) - 154 ( 23(3 - x) )^2
Substituindo os limites:
= 6(3 - x) - 8x3(3 - x) - 154 cdot 49(3 - x)^2
= 18 - 6x - 8x + 8x^23 - 159(3 - x)^2
= 18 - 14x + 8x^23 - 53(9 - 6x + x^2)
= 18 - 14x + 8x^23 - 15 + 10x - 5x^23
= 3 - 4x + 3x^23
= 3 - 4x + x^2

Passo 11

Agora, integramos isso em relação a integral0^3 (3 - 4x + x^2) , dx = [ 3x - 2x^2 + 13x^3 ]0^3 de 0 a 3:
= 3(3) - 2(3)^2 + 13(3)^3 - (0 - 0 + 0)
Substituindo os limites:
= 9 - 18 + 9 = 0

Resposta

A integral calculada é igual a 0.

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