Calcule:
, onde
é a superfície exterior do cone
delimitado pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
é a superfície externa do cone dado por
, limitado pelos planos
e
. Então, vamos trabalhar com cálculo de integrais de superfície, usando geometria do cone e alguns conceitos de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Como é um cone definido por
, podemos reescrever isso como
, onde
em coordenadas cilíndricas. Os limites
e
nos dizem que o cone vai do círculo de raio 1 até o de raio 4 no eixo
.
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos achar um elemento de área
e o vetor normal à superfície. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área para um cone é dado por
. Calculando a derivada, temos
, então
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar as diferentesials
,
e
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Calculando cada termo:
Somando esses termos e ignorando os termos de ordem superior (
e
), temos:
Passo 5
Agora, voltando à integral original:
Os limites de integração para
vão de 1 a 4 (como
varia de 1 a 4 e
) e para
vão de 0 a
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos separar a integral:
Calculando as integrais:
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
.
Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
;
Calcule:
o fluxo do campo vetorial através da superfície exterior do sólido
.
o fluxo do campo vetorial
Calcule:
, onde
é a superfície plana delimitada pelo
triângulo de vértices e
e a normal afasta-se da origem;
triângulo de vértices