Calcule:
integral duplaS d y d z+d z d x+d x d y, onde S é a superfície exterior do cone z=raizx^2+y^2 delimitado pelos planos z=1 e z=4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS dy,dz + dz,dx + dx,dy, onde S é a superfície externa do cone dado por z = raizx^2 + y^2, limitado pelos planos z = 1 e z = 4. Então, vamos trabalhar com cálculo de integrais de superfície, usando geometria do cone e alguns conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. Como é um cone definido por z = raizx^2 + y^2, podemos reescrever isso como z = r, onde r = raizx^2 + y^2 em coordenadas cilíndricas. Os limites z = 1 e z = 4 nos dizem que o cone vai do círculo de raio 1 até o de raio 4 no eixo z.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos achar um elemento de área dS e o vetor normal à superfície. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área para um cone é dado por dS = raiz1 + (partial zpartial r)^2, r, dr, dtheta. Calculando a derivada, temos partial zpartial r = 1, então dS = raiz1 + 1 , r, dr, dtheta = raiz2 , r, dr, dtheta.

Passo 4

Agora, precisamos expressar as diferentesials dy,dz, dz,dx e dx,dy em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
  • dx = costheta, dr - rsintheta, dtheta
  • dy = sintheta, dr + rcostheta, dtheta
  • dz = dr
Calculando cada termo:
  • dy,dz = (sintheta, dr + rcostheta, dtheta)(dr) = sintheta, dr^2 + rcostheta, dr, dtheta
  • dz,dx = (dr)(costheta, dr - rsintheta, dtheta) = costheta, dr^2 - rsintheta, dr, dtheta
  • dx,dy = (costheta, dr - rsintheta, dtheta)(sintheta, dr + rcostheta, dtheta) = costhetasintheta, dr^2 + rcos^2theta, dr, dtheta - rsin^2theta, dr, dtheta - r^2sinthetacostheta, dtheta^2
Somando esses termos e ignorando os termos de ordem superior ( dr^2 e dtheta^2), temos:
dy,dz + dz,dx + dx,dy = (sintheta + costheta + costhetasintheta - sinthetacostheta)d, dr, dtheta = (sintheta + costheta) dr, dtheta

Passo 5

Agora, voltando à integral original:
integral duplaS dy,dz + dz,dx + dx,dy = integral duplaS (sintheta + costheta) dr, dtheta
Os limites de integração para r vão de 1 a 4 (como z varia de 1 a 4 e z = r) e para theta vão de 0 a 2pi.
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral1^4 (sintheta + costheta) dr, dtheta

Passo 6

Vamos separar a integral:
integral0^2pi sintheta, dtheta integral1^4 dr + integral0^2pi costheta, dtheta integral1^4 dr
Calculando as integrais:
integral1^4 dr = 4 - 1 = 3
integral0^2pi sintheta, dtheta = 0 e integral0^2pi costheta, dtheta = 0

Resposta

A integral é igual a 0.

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