Calcule:
, onde é a superfície exterior do cone delimitado pelos planos e

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é a superfície externa do cone dado por , limitado pelos planos e . Então, vamos trabalhar com cálculo de integrais de superfície, usando geometria do cone e alguns conceitos de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . Como é um cone definido por , podemos reescrever isso como , onde em coordenadas cilíndricas. Os limites e nos dizem que o cone vai do círculo de raio 1 até o de raio 4 no eixo .

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos achar um elemento de área e o vetor normal à superfície. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área para um cone é dado por . Calculando a derivada, temos , então .

Passo 4

Agora, precisamos expressar as diferentesials , e em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Calculando cada termo:
Somando esses termos e ignorando os termos de ordem superior ( e ), temos:

Passo 5

Agora, voltando à integral original:
Os limites de integração para vão de 1 a 4 (como varia de 1 a 4 e ) e para vão de 0 a .
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos separar a integral:
Calculando as integrais:
e

Resposta

A integral é igual a .

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Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
.
Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
;
Calcule:
o fluxo do campo vetorial através da superfície exterior do sólido .
Calcule:
, onde é a superfície plana delimitada pelo
triângulo de vértices e e a normal afasta-se da origem;