Determine os valores de C1 e C2 de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais dadas. y(x) = C1 * e^x + C2 * e^(-x) + 4 * sen(x) ; y(0) = 1, y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e para que a função atenda às condições iniciais e . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a condição inicial . Isso significa que, quando , a função deve ser igual a 1.
Substituindo na função:
Sabemos que e , então:
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda condição inicial . Para isso, precisamos primeiro encontrar a derivada da função .
Derivando em relação a :
Agora, substituímos :
Simplificando:
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Uma maneira fácil é somar as duas equações para eliminar :
Agora que temos , substituímos na primeira equação para encontrar :

Resposta

Os valores são e .

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