Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
em cada um dos seguintes casos:
, com
a superfície do sólido limitado pelo semiesfera
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é formada pela semiesfera
e pelo plano
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de “algo” (como um fluido ou campo elétrico) que passa por essa superfície. Matemáticamente, isso é representado pela integral de superfície:
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Ele diz que:
Isso significa que, em vez de calcular a integral na superfície
, podemos calcular a divergência de
dentro do volume
limitado por
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Para o nosso campo
, temos:
Passo 5
Agora que sabemos que
, podemos escrever a integral de volume:
Isso significa que o fluxo é 3 vezes o volume do sólido limitado pela semiesfera e pelo plano.
Passo 6
Vamos calcular o volume
desse sólido. Trata-se de uma semiesfera de raio
. O volume de uma esfera completa é
, então o volume da semiesfera é metade disso:
Passo 7
Finalmente, substituímos o volume na expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
uma curva simplesmente conexa e orientável que delimita uma região
e
o vetor normal unitário exterior à curva
. Mostre que
Calcule as seguintes integrais de linha:
é a elipse
.
Calcule o volume de um cubo qualquer.
Calcule a integral
com
e
a superfície delimitada pelo planos
,
e
.