Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície em cada um dos seguintes casos: , com a superfície do sólido limitado pelo semiesfera e pelo plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é formada pela semiesfera e pelo plano . Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, como o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede a quantidade de “algo” (como um fluido ou campo elétrico) que passa por essa superfície. Matemáticamente, isso é representado pela integral de superfície:

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície com uma integral de volume. Ele diz que:
Isso significa que, em vez de calcular a integral na superfície , podemos calcular a divergência de dentro do volume limitado por .

Passo 4

Vamos calcular a divergência de . A divergência é dada por:
Para o nosso campo , temos:

Passo 5

Agora que sabemos que , podemos escrever a integral de volume:
Isso significa que o fluxo é 3 vezes o volume do sólido limitado pela semiesfera e pelo plano.

Passo 6

Vamos calcular o volume desse sólido. Trata-se de uma semiesfera de raio . O volume de uma esfera completa é , então o volume da semiesfera é metade disso:

Passo 7

Finalmente, substituímos o volume na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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Calcule as seguintes integrais de linha: é a elipse .
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com e a superfície delimitada pelo planos , e .