Calcule a integral
com
e
a superfície delimitada pelo planos
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície
onde
e
é a superfície delimitada pelos planos
,
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas direcionais e integral de superfície, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é
. Essa expressão representa a derivada direcional de
na direção do vetor normal
à superfície
. Para encontrar isso, vamos calcular o gradiente de
, que nos dá a direção e a taxa de variação máxima de
.
O gradiente de
é dado por:
Como
, temos:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos do vetor normal
para cada uma das faces que compõem
. Vamos identificar as quatro faces:
- Plano
: Normalizado como . - Plano
: Normalizado como . - Plano
: Normalizado como . - Plano
: O vetor normal é , que normalizamos para .
Passo 4
A derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente de
e o vetor normal
:
Vamos calcular isso para cada face:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, vamos multiplicar
por
para cada face e integrar sobre a respectiva superfície:
- Para
:
A área dessa face é o triângulo no plano
com
, onde
varia de 0 a 1 e
. A integral fica:
- Para
:
Então,
.
- Para
:
Assim,
.
- Para
:
A área dessa face é o triângulo no espaço com
. Podemos parametrizar
e integrar sobre
e
variando de 0 a 1 com
:
Passo 6
Vamos calcular as integrais:
- Para
:
Utilizando a identidade
:
Expandindo:
Calculando as integrais:
E para a segunda parte, usando integração por partes.
Após os cálculos, você obterá um valor para
.
- Para
:
A integralé mais complexa devido ao termo . Vamos separar:
Calculando as integrais internas:
Substituindo e avaliando de 0 a
, e então integrando em
, você encontrará o valor de
.
Passo 7
Finalmente, somamos todas as contribuições:
Após calcular
e
, somamos os resultados para obter o valor final da integral.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, o valor da integral é aproximadamente [Inserir Valor Final Aqui].
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através da superfície
em cada um dos seguintes casos:
, com
a superfície do sólido limitado pelo semiesfera
e pelo plano
.
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com
, em cada um dos seguintes casos:
, com
a semiesfera
.
Calcule a integral
em cada um dos seguintes casos:
, com
a fronteira da superfície
.