Sejam uma curva simplesmente conexa e orientável que delimita uma região e o vetor normal unitário exterior à curva . Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma curva que é simplesmente conexa e orientável, e ela delimita uma região no plano . Além disso, temos um vetor normal unitário externo à curva . A pergunta quer que mostremos que as integrais de linha de e ao longo de são iguais a zero.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que a curva delimita. Também vamos precisar entender um pouco sobre vetores normais e como eles se comportam em integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema nos diz que para uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Aqui, e são funções diferenciáveis de e .

Passo 3

Agora, vamos considerar as integrais que precisamos calcular:
Para usar o Teorema de Green, precisamos expressar essas integrais em termos de e . Sabemos que o vetor normal está relacionado à derivada tangencial da curva. Contudo, podemos pensar em e como componentes de .

Passo 4

Vamos focar primeiro em . Aqui, é o elemento de comprimento ao longo da curva. Podemos relacionar com e usando o fato de que . No entanto, para aplicar o Teorema de Green, precisamos expressar a integral em termos de e .

Passo 5

Para isso, notamos que o vetor normal pode ser relacionado ao vetor tangente da curva. Se é tangente a , então pode ser obtido girando em 90 graus. Isso nos dá .

Passo 6

Agora, expressamos em termos de e , . Sabemos que:
Mas percebemos que isso não facilita muito a aplicação direta do Teorema de Green. Então, vamos tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos considerar que para uma curva fechada e suave, a integral de uma componente do vetor normal ao longo de toda a curva pode ser relacionada à variação total dessa componente. No entanto, como a curva é fechada, a variação total de e ao redor de deve ser zero, já que a curva não tem “borda” inicial ou final.

Passo 8

Mais formalmente, usando o Teorema de Green, podemos interpretar a integral de e como fluxos de campos vetoriais apropriados. Por exemplo, para :
Escolhemos e , de forma que:
Mas, como é um vetor normal unitário, suas derivadas devem equilibrar de forma que essa integral dupla resulte em zero.

Passo 9

O mesmo raciocínio vale para . Ao aplicar o Teorema de Green com e , teremos uma integral dupla semelhante que também se anula pelas propriedades do vetor normal em uma curva fechada.

Resposta

Portanto,

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