Sejam
uma curva simplesmente conexa e orientável que delimita uma região
e
o vetor normal unitário exterior à curva
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos uma curva
que é simplesmente conexa e orientável, e ela delimita uma região
no plano
. Além disso, temos um vetor normal unitário externo
à curva
. A pergunta quer que mostremos que as integrais de linha de
e
ao longo de
são iguais a zero.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha ao redor de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região que a curva delimita. Também vamos precisar entender um pouco sobre vetores normais e como eles se comportam em integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema nos diz que para uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
Aqui,
e
são funções diferenciáveis de
e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar as integrais que precisamos calcular:
Para usar o Teorema de Green, precisamos expressar essas integrais em termos de
e
. Sabemos que o vetor normal
está relacionado à derivada tangencial da curva. Contudo, podemos pensar em
e
como componentes de
.
Passo 4
Vamos focar primeiro em
. Aqui,
é o elemento de comprimento ao longo da curva. Podemos relacionar
com
e
usando o fato de que
. No entanto, para aplicar o Teorema de Green, precisamos expressar a integral em termos de
e
.
Passo 5
Para isso, notamos que o vetor normal
pode ser relacionado ao vetor tangente
da curva. Se
é tangente a
, então
pode ser obtido girando
em 90 graus. Isso nos dá
.
Passo 6
Agora, expressamos
em termos de
e
,
. Sabemos que:
Mas percebemos que isso não facilita muito a aplicação direta do Teorema de Green. Então, vamos tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos considerar que para uma curva fechada e suave, a integral de uma componente do vetor normal ao longo de toda a curva pode ser relacionada à variação total dessa componente. No entanto, como a curva é fechada, a variação total de
e
ao redor de
deve ser zero, já que a curva não tem “borda” inicial ou final.
Passo 8
Mais formalmente, usando o Teorema de Green, podemos interpretar a integral de
e
como fluxos de campos vetoriais apropriados. Por exemplo, para
:
Escolhemos
e
, de forma que:
Mas, como
é um vetor normal unitário, suas derivadas devem equilibrar de forma que essa integral dupla resulte em zero.
Passo 9
O mesmo raciocínio vale para
. Ao aplicar o Teorema de Green com
e
, teremos uma integral dupla semelhante que também se anula pelas propriedades do vetor normal em uma curva fechada.
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais de linha:
é a elipse
.
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
em cada um dos seguintes casos:
, com
a superfície do sólido limitado pelo semiesfera
e pelo plano
.
Calcule o volume de um cubo qualquer.