Calcule as seguintes integrais de linha: é a elipse .

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular uma integral de linha do tipo , onde é a elipse . Vamos usar conceitos de cálculo de campos vetoriais e propriedades de integrais de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial envolvido na integral. Aqui, temos . Para saber se a integral de linha sobre uma curva fechada é fácil de calcular, verificamos se esse campo é conservativo.

Passo 3

Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Para verificar isso, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Para campos conservativos, a integral de linha sobre qualquer curva fechada é zero. Isso porque os potenciais nas extremidades coincidem, resultando em uma diferença nula.

Resposta

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