Calcule as seguintes integrais de linha:
é a elipse
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular uma integral de linha do tipo
, onde
é a elipse
. Vamos usar conceitos de cálculo de campos vetoriais e propriedades de integrais de linha para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial envolvido na integral. Aqui, temos
. Para saber se a integral de linha sobre uma curva fechada
é fácil de calcular, verificamos se esse campo é conservativo.
Passo 3
Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Para verificar isso, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Para campos conservativos, a integral de linha sobre qualquer curva fechada é zero. Isso porque os potenciais nas extremidades coincidem, resultando em uma diferença nula.
Resposta
0
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Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Determine a primeira forma fundamental das seguintes superfícies:
.
Sejam
uma curva simplesmente conexa e orientável que delimita uma região
e
o vetor normal unitário exterior à curva
. Mostre que
Calcule o fluxo do campo vetorial
através da superfície
em cada um dos seguintes casos:
, com
a superfície do sólido limitado pelo semiesfera
e pelo plano
.