Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y) = x^5 y^4 i + (3y - x^4 y^5) j através da curva alpha(t) = (cos^3(t), sen^5(t)), t em [0, pi], da direção da normal unitária cuja segunda componente é maior ou igual a zero.

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular o fluxo do campo vetorial através da curva parametrizada para no intervalo t. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma curva utilizando a parametrização e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva para . Para calcular o fluxo, precisamos determinar o vetor normal unitário à curva em cada ponto.

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização alpha(t) para obter o vetor tangente à curva:

Passo 4

Obtemos o vetor normal rotacionando o vetor tangente em . Uma maneira comum é trocar as componentes e mudar o sinal de uma delas:

Passo 5

Agora, normalizamos o vetor normal para obter o vetor normal unitário:
Simplificamos a expressão:
Portanto, o vetor normal unitário é:
Simplificando:

Passo 6

O fluxo do campo vetorial F através da curva alpha(t) é dado pela integral de linha:
Onde é a norma do vetor tangente, que já calculamos.

Passo 7

Vamos substituir e na integral:
Calculando o produto escalar:
Simplificando a expressão e integrando ao longo de de a t, observamos que a integral resulta em 0 devido às simetrias das funções seno e cosseno nos limites de integração.

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da curva é igual a 0.

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