Calcule o fluxo do campo vetorial
através da curva
, da direção da normal unitária cuja segunda componente é maior ou igual a zero.
Passo 1
Neste exercício, precisamos calcular o fluxo do campo vetorial
através da curva parametrizada para
no intervalo
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de uma curva utilizando a parametrização e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva para
. Para calcular o fluxo, precisamos determinar o vetor normal unitário à curva em cada ponto.
Passo 3
Calculamos a derivada da parametrização
para obter o vetor tangente à curva:
Passo 4
Obtemos o vetor normal rotacionando o vetor tangente em
. Uma maneira comum é trocar as componentes e mudar o sinal de uma delas:
Passo 5
Agora, normalizamos o vetor normal para obter o vetor normal unitário:
Simplificamos a expressão:
Portanto, o vetor normal unitário é:
Simplificando:
Passo 6
O fluxo do campo vetorial
através da curva
é dado pela integral de linha:
Onde
é a norma do vetor tangente, que já calculamos.
Passo 7
Vamos substituir
e
na integral:
Calculando o produto escalar:
Simplificando a expressão e integrando ao longo de
de
a
, observamos que a integral resulta em
devido às simetrias das funções seno e cosseno nos limites de integração.
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da curva é igual a
.