Use a Regra da Cadeia para determinar d z / d t ou d w / d t, ou ainda, para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
w=ln raizx^2+y^2+z^2, x=sin t, y=cos t e z=tan t.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos as seguintes funções:
O objetivo é determinar a derivada de em relação a , ou seja, , utilizando a Regra da Cadeia. Para resolver isso, precisaremos conhecer as regras de derivação e como aplicar a Regra da Cadeia em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de w = ln ( raizx^2 + y^2 + z^2 ) = 12 ln ( x^2 + y^2 + z^2 ) de forma que facilite a derivação:
Isso simplifica a derivada, pois a derivada do logaritmo natural é mais direta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia para derivar dwdt = dwdu cdot dudt em relação a dwdu = 12 cdot 1u = 12u . A Regra da Cadeia nos diz que:
dudt = 2x cdot dxdt + 2y cdot dydt + 2z cdot dzdt
Onde e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. Derivada de dxdt = cos t em relação a dydt = -sin t :
dzdt = sec^2 t
  1. Derivada de dudt = 2x cdot cos t + 2y cdot (-sin t) + 2z cdot sec^2 t em relação a dudt = 2sin t cdot cos t + 2cos t cdot (-sin t) + 2tan t cdot sec^2 t :
dudt = 0 + 2tan t cdot sec^2 t = 2tan t cdot sec^2 t
  1. Derivada de em relação a :
Agora, substituímos essas derivadas na expressão de :
Lembrando que , e , substituímos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos dwdt = 12u cdot 2tan t cdot sec^2 t = tan t cdot sec^2 tu e u = 1 + tan^2 t = sec^2 t na expressão de dwdt = tan t cdot sec^2 tsec^2 t = tan t :
Sabendo que .
Como , temos:
Substituindo na expressão de :

Resposta

dwdt = tan t

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