Calcule o fluxo do campo vetorial através do hemisfério superior da esfera unitária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através do hemisfério superior da esfera unitária. Primeiro, vamos entender o que isso significa. O fluxo basicamente mede o quanto o campo “passa” através de uma superfície. Aqui, a superfície que estamos considerando é a parte de cima de uma esfera com raio 1 (a esfera unitária).
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no interior da superfície. Então, vamos precisar:
  1. Entender e aplicar o Teorema da Divergência.
  2. Calcular a divergência do campo .
  3. Integrar essa divergência sobre o volume da esfera unitária.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por . Matemáticamente:
No nosso caso, a superfície não é fechada porque estamos lidando apenas com o hemisfério superior. Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos fechar a superfície adicionando o disco na base do hemisfério. Assim, teremos:
é
Como queremos apenas o fluxo pelo hemisfério, podemos reorganizar:
é

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. :
  1. :
  1. :
Agora, somando tudo:
Vamos simplificar:
Observamos que todos os termos se cancelam:
Portanto,

Passo 4

Com a divergência sendo zero, o Teorema da Divergência nos diz que o fluxo total através da superfície fechada é zero:
Mas lembra que nossa superfície é composta pelo hemisfério superior e pelo disco na base:
é
Então,
é

Passo 5

Agora, precisamos calcular o fluxo através do disco na base da esfera. O disco está no plano e tem raio 1. A orientação do disco deve ser tal que o vetor normal a ele seja na direção negativa de , já que estamos fechando a superfície com o disco.
No disco , o vetor normal é . Então, o fluxo pelo disco é:
Vamos substituir na expressão de :
Como o componente de é zero, o produto escalar também é zero:
Portanto,

Passo 6

Voltando à relação que estabelecemos:
é
Portanto, o fluxo através do hemisfério superior da esfera unitária é zero.

Resposta

O fluxo do campo vetorial através do hemisfério superior da esfera unitária é zero.

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