Calcule o fluxo do campo vetorial
através do hemisfério superior da esfera unitária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo de um campo vetorial
através do hemisfério superior da esfera unitária. Primeiro, vamos entender o que isso significa. O fluxo basicamente mede o quanto o campo
“passa” através de uma superfície. Aqui, a superfície que estamos considerando é a parte de cima de uma esfera com raio 1 (a esfera unitária).
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no interior da superfície. Então, vamos precisar:
- Entender e aplicar o Teorema da Divergência.
- Calcular a divergência do campo
. - Integrar essa divergência sobre o volume da esfera unitária.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matemáticamente:
No nosso caso, a superfície não é fechada porque estamos lidando apenas com o hemisfério superior. Para aplicar o Teorema da Divergência, precisamos fechar a superfície adicionando o disco na base do hemisfério. Assim, teremos:
Como queremos apenas o fluxo pelo hemisfério, podemos reorganizar:
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
:
-
:
-
:
Agora, somando tudo:
Vamos simplificar:
Observamos que todos os termos se cancelam:
Portanto,
Passo 4
Com a divergência sendo zero, o Teorema da Divergência nos diz que o fluxo total através da superfície fechada é zero:
Mas lembra que nossa superfície
é composta pelo hemisfério superior e pelo disco na base:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos calcular o fluxo através do disco na base da esfera. O disco está no plano
e tem raio 1. A orientação do disco deve ser tal que o vetor normal a ele seja na direção negativa de
, já que estamos fechando a superfície com o disco.
No disco
, o vetor normal é
. Então, o fluxo pelo disco é:
Vamos substituir
na expressão de
:
Como o componente
de
é zero, o produto escalar
também é zero:
Portanto,
Passo 6
Voltando à relação que estabelecemos:
Portanto, o fluxo através do hemisfério superior da esfera unitária é zero.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através do hemisfério superior da esfera unitária é zero.
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ao longo da curva
.
Seja
uma função tal que
para todo
.
Conclua que que para todo e todo
, tem-se
.
Conclua que que para todo
Prove a Lei de Gauss que afirma que o fluxo total do campo gravitacional através de uma superficie fechada é igual a
vezes a massa envolvida pela superficie, onde
é a constate gravitacional. A equação matemática da Lei é dada por
Questão 5: Dada uma função: R^2 em R (x,y) -> f(x,y). Provar que Duf = <gradiente
. Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem.