Encontre a integral de linha de ao longo da curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral de linha da função ao longo de uma curva específica dada por , onde varia de a . Para isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e saber como substituir essas parametrizações na integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela nos permite calcular a “soma” de uma função ao longo de um caminho específico no espaço. No nosso caso, a função é e o caminho é definido por .

Passo 3

Para resolver, precisamos parametrizar a curva. A parametrização já está dada: . Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas parametrizações na função :

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a . Isso é necessário porque na integral de linha, multiplicamos pela velocidade da curva.

Passo 6

A magnitude dessa derivada é:

Passo 7

Agora, a integral de linha fica:

Passo 8

Vamos simplificar a integral usando uma substituição. Seja , então:
Substituindo na integral:

Passo 9

Integrando :
Voltando para :

Passo 10

Agora, avaliamos de a :
Calculando:

Resposta

A integral de linha é aproximadamente 1,627.

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