Encontre a integral de linha de ao longo da curva .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral de linha da função ao longo de uma curva específica dada por , onde varia de a . Para isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e saber como substituir essas parametrizações na integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela nos permite calcular a “soma” de uma função ao longo de um caminho específico no espaço. No nosso caso, a função é e o caminho é definido por .
Passo 3
Para resolver, precisamos parametrizar a curva. A parametrização já está dada: . Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas parametrizações na função :
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a . Isso é necessário porque na integral de linha, multiplicamos pela velocidade da curva.
Passo 6
A magnitude dessa derivada é:
Passo 7
Agora, a integral de linha fica:
Passo 8
Vamos simplificar a integral usando uma substituição. Seja , então: