Prove a Lei de Gauss que afirma que o fluxo total do campo gravitacional através de uma superficie fechada é igual a -4 pi G vezes a massa envolvida pela superficie, onde G é a constate gravitacional. A equação matemática da Lei é dada por
integral duplaS F cdot n d S=-4 pi M G

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a Lei de Gauss para a gravidade. Basicamente, essa lei diz que o fluxo total do campo gravitacional passando por uma superfície fechada é igual a -4 pi G vezes a massa dentro dessa superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como fluxo de um campo vetorial, a Lei de Gauss em geral, e as propriedades do campo gravitacional. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede quantas “linhas” do campo passam por uma superfície. Matemáticamente, é representado por uma integral de superfície:
integral duplaS F cdot n , dS
Aqui, F é o campo gravitacional, n é o vetor normal à superfície S, e dS é um elemento de área na superfície.

Passo 3

A Lei de Gauss geral para campos vetoriais nos diz que o fluxo de um campo através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Em fórmula:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Nesse caso, V é o volume dentro da superfície S.

Passo 4

Para o campo gravitacional, sabemos que ele é dado por:
F = -G Mr^2 r
Onde G é a constante gravitacional, M é a massa que cria o campo, r é a distância do centro da massa, e r é o vetor unitário na direção radial.

Passo 5

Agora, precisamos calcular a divergência do campo gravitacional nabla cdot F. A divergência em coordenadas esféricas para um campo radial F = Fr r é:
nabla cdot F = 1r^2 ddr (r^2 Fr)
Substituindo Fr = -G Mr^2:
nabla cdot F = 1r^2 ddr ( r^2 (-G Mr^2) ) = 1r^2 ddr (-G M) = 0
Isso indica que, fora da massa, a divergência do campo gravitacional é zero.

Passo 6

Entretanto, dentro da massa, se considerarmos uma distribuição de massa uniforme, a divergência não é zero. De fato, para uma densidade de massa rho, temos:
nabla cdot F = -4 pi G rho
Isso vem da equação de Poisson para a gravitação:
nabla cdot F = -4 pi G rho

Passo 7

Integrando a divergência sobre o volume V, obtemos:
integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV -4 pi G rho , dV = -4 pi G M
Onde M = integral triplaV rho , dV é a massa total dentro do volume.

Passo 8

Assim, pela Lei de Gauss:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV = -4 pi G M

Resposta

Portanto, provamos que o fluxo total do campo gravitacional através de uma superfície fechada é igual a -4 pi G vezes a massa envolvida pela superfície, conforme a Lei de Gauss para a gravidade.

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