Prove a Lei de Gauss que afirma que o fluxo total do campo gravitacional através de uma superficie fechada é igual a
vezes a massa envolvida pela superficie, onde
é a constate gravitacional. A equação matemática da Lei é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a Lei de Gauss para a gravidade. Basicamente, essa lei diz que o fluxo total do campo gravitacional passando por uma superfície fechada é igual a
vezes a massa dentro dessa superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como fluxo de um campo vetorial, a Lei de Gauss em geral, e as propriedades do campo gravitacional. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede quantas “linhas” do campo passam por uma superfície. Matemáticamente, é representado por uma integral de superfície:
Aqui,
é o campo gravitacional,
é o vetor normal à superfície
, e
é um elemento de área na superfície.
Passo 3
A Lei de Gauss geral para campos vetoriais nos diz que o fluxo de um campo através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície. Em fórmula:
Nesse caso,
é o volume dentro da superfície
.
Passo 4
Para o campo gravitacional, sabemos que ele é dado por:
Onde
é a constante gravitacional,
é a massa que cria o campo,
é a distância do centro da massa, e
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 5
Agora, precisamos calcular a divergência do campo gravitacional
. A divergência em coordenadas esféricas para um campo radial
é:
Substituindo
:
Isso indica que, fora da massa, a divergência do campo gravitacional é zero.
Passo 6
Entretanto, dentro da massa, se considerarmos uma distribuição de massa uniforme, a divergência não é zero. De fato, para uma densidade de massa
, temos:
Isso vem da equação de Poisson para a gravitação:
Passo 7
Integrando a divergência sobre o volume
, obtemos:
Onde
é a massa total dentro do volume.
Passo 8
Assim, pela Lei de Gauss:
Resposta
Portanto, provamos que o fluxo total do campo gravitacional através de uma superfície fechada é igual a
vezes a massa envolvida pela superfície, conforme a Lei de Gauss para a gravidade.
Exercícios relacionados
Calcule o fluxo do campo vetorial
através do hemisfério superior da esfera unitária.
Encontre a integral de linha de
ao longo da curva
.
Questão 5: Dada uma função: R^2 em R (x,y) -> f(x,y). Provar que Duf = <gradiente
. Se f admitir derivadas parciais de primeira ordem.
Calcule a derivada da seguinte função: