Seja uma função tal que para todo .
Conclua que que para todo e todo , tem-se .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função definida para todos os números positivos que satisfaz a propriedade para quaisquer e positivos. Nosso objetivo é mostrar que, para qualquer número positivo e para qualquer número natural , a função aplicada a é igual a vezes .
Vamos resolver isso passo a passo usando propriedades das funções e exponenciais.

Passo 2

Vamos começar lembrando que pode ser escrito como . Mas para facilitar, vamos usar a propriedade da função que nos foi dada: .

Passo 3

Observe que pode ser escrito como . Então, usando a propriedade da função , temos:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a propriedade da função para o produto repetido. Sabemos que:
Portanto,

Passo 5

Precisamos encontrar uma expressão para . Observe que é o mesmo que . Podemos usar a propriedade da função novamente:
Sabemos que , e geralmente, assumimos que (pois , o que só é possível se ).
Então,

Passo 6

Substituindo na expressão que obtivemos no Passo 4:

Resposta

Para todo e todo , temos que .

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Seja uma função tal que para todo .
Mostre, por indução, que para todo e todo natural, tem-se .
Seja a região delimitada pelos planos coordenados e planos 1 e . Calcular, com base no teorema da Divergência, o fluxo do campo , através da superficies fronteira de T.
Encontre a integral de linha de ao longo da curva .
Calcule o fluxo do campo vetorial através do hemisfério superior da esfera unitária.