Seja
uma função tal que
para todo
.
Conclua que que para todo
e todo
, tem-se
.
Conclua que que para todo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função
definida para todos os números positivos
que satisfaz a propriedade
para quaisquer
e
positivos. Nosso objetivo é mostrar que, para qualquer número positivo
e para qualquer número natural
, a função
aplicada a
é igual a
vezes
.
Vamos resolver isso passo a passo usando propriedades das funções e exponenciais.
Passo 2
Vamos começar lembrando que
pode ser escrito como
. Mas para facilitar, vamos usar a propriedade da função
que nos foi dada:
.
Passo 3
Observe que
pode ser escrito como
. Então, usando a propriedade da função
, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a propriedade da função
para o produto repetido. Sabemos que:
Portanto,
Passo 5
Precisamos encontrar uma expressão para
. Observe que
é o mesmo que
. Podemos usar a propriedade da função
novamente:
Sabemos que
, e geralmente, assumimos que
(pois
, o que só é possível se
).
Então,
Passo 6
Substituindo
na expressão que obtivemos no Passo 4:
Resposta
Para todo
e todo
, temos que
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função tal que
para todo
.
Mostre, por indução, que para todo e todo
natural, tem-se
.
Mostre, por indução, que para todo
Seja
a região delimitada pelos planos coordenados e planos
1 e
. Calcular, com base no teorema da Divergência, o fluxo do campo
, através da superficies
fronteira de T.
Encontre a integral de linha de
ao longo da curva
.
Calcule o fluxo do campo vetorial
através do hemisfério superior da esfera unitária.